Показатели крутизны распределения
Для вычисления показателя крутизны распределения используется центральный момент четвёртого порядка
Чтобы
показатель крутизны не зависел от
выбранного при измерении масштаба,
вводится нормированный
момент четвёртого порядка
или коэффициент
крутизны
(
)
– отношение центрального момента
четвёртого порядка к среднему
квадратическому отклонению, возведённому
в четвёртую степень.
При
оценке крутизны в качестве эталонного
выбирается нормальное распределение,
для которого
.
Для сравнения данного распределения с
нормальным используется эксцесс
распределения
Если Ex > 0, то распределение высоковершинное, если Ex < 0, то распределение низковершинное.
Кривые распределения
Чем больше количество наблюдений и меньше величина интервала, тем лучше видны закономерности распределения, а представляющая полигон частот ломаная линия ближе приближается к некоторой плавной линии. В пределе она должна превратиться в кривую линию.
Кривая линия, отражающая закономерность изменения частот в исключающем влияние случайных факторов виде, называется кривой распределения. Кривая распределения может рассматриваться как теоретическая (вероятностная) форма распределения, присущая определённой совокупности и может использоваться в различных расчётах и прогнозах.
В настоящее время изучено большое количество форм распределения. Очень важно выдвинуть верную гипотезу о типе кривой распределения. В статистических исследованиях наиболее часто используются нормальное распределение и распределение Пуассона.
Нормальное распределение
Распределение Пуассона
Графически распределение Пуассона представлено на рисунке
Распределение Пуассона наблюдается в совокупностях, число единиц которых достаточно велико (N ≥ 100), а доля единиц, обладающих большими значениями признака, мала. Средняя арифметическая ряда и дисперсия, как правило, совпадают или почти совпадают.
где
N – объём совокупности;
Критерии согласия
Выдвинутая гипотеза относительно того, к какому типу относится распределение, должна быть проверена с помощью критериев согласия. Критерии согласия, опираясь предполагаемый закон распределения, позволяют установить являются ли расхождения между теоретическими и эмпирическими частотами несущественными. Наиболее часто применяются критерии согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова.
Критерий согласия Пирсона
Критерий
согласия Пирсона
(хи-квадрат):
По указанной выше формуле вычисляется расчётное значение критерия Пирсона. Затем его нужно сравнить с табличным значением, называемым критическим значением критерия согласия. Критическое значение зависит от уровня значимости и числа степеней свободы.
Уровень значимости () - вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. В статистических исследованиях используют три уровня значимости:
= 0,1 (в десяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза);
= 0,05 (в пяти случаях из ста может быть отвергнута правильная гипотеза);
= 0,01 (в одном случае из ста может быть отвергнута правильная гипотеза).
Обычно используется значение 0,05.
Число степеней свободы (v) – разность числа групп в ряду распределения и числа связей:
Число
связей
(z)
– число показателей эмпирического
ряда, использованных при вычислении
теоретических частот
.
При
выравнивании по кривой нормального
распределения имеется три связи, т.к.
три показателя
.
При выравнивании по кривой Пуассона
две связи, т.к. два показателя
.
Для распределения Пирсона составлены таблицы, в которых по выбранному уровню значимости и числу степеней свободы определяется критическое значение критерия согласия.
Критическое значения критерия Пирсона
Число степеней свободы v |
Уровни значимости |
|
Число степеней свободы v |
Уровни значимости |
|||||||
0,10 |
0,05 |
0,01 |
|
0,10 |
0,05 |
0,01 |
|||||
1 |
2,71 |
3,84 |
6,63 |
|
21 |
29,62 |
32,67 |
38,93 |
|||
2 |
4,61 |
5,99 |
9,21 |
|
22 |
30,81 |
33,92 |
40,29 |
|||
3 |
6,25 |
7,81 |
11,34 |
|
23 |
32,01 |
34,17 |
41,64 |
|||
4 |
7,78 |
9,49 |
13,28 |
|
24 |
33,20 |
36,42 |
42,98 |
|||
5 |
9,24 |
11,07 |
15,09 |
|
25 |
34,38 |
37,65 |
44,31 |
|||
6 |
10,64 |
12,59 |
16,81 |
|
26 |
35,56 |
38,89 |
45,64 |
|||
7 |
12,02 |
14,07 |
18,48 |
|
27 |
36,74 |
40,11 |
46,96 |
|||
8 |
13,36 |
15,51 |
20,09 |
|
28 |
37,92 |
41,34 |
48,28 |
|||
9 |
14,68 |
16,92 |
21,67 |
|
29 |
39,09 |
42,56 |
49,59 |
|||
10 |
15,99 |
18,31 |
23,21 |
|
30 |
40,26 |
43,77 |
50,89 |
|||
11 |
17,28 |
19,68 |
24,72 |
|
40 |
51,80 |
55,76 |
63,69 |
|||
12 |
18,55 |
21,03 |
26,22 |
|
50 |
63,17 |
67,50 |
76,15 |
|||
13 |
19,81 |
22,36 |
27,69 |
|
60 |
74,40 |
79,08 |
88,38 |
|||
14 |
21,06 |
23,68 |
29,14 |
|
70 |
85,53 |
90,53 |
100,42 |
|||
15 |
22,31 |
25,00 |
30,58 |
|
80 |
96,58 |
101,88 |
112,33 |
|||
16 |
23,54 |
26,30 |
32,00 |
|
90 |
107,56 |
113,14 |
124,12 |
|||
17 |
24,77 |
27,59 |
33,41 |
|
100 |
118,50 |
124,34 |
135,81 |
|||
18 |
25,99 |
28,87 |
34,81 |
|
|
|
|
|
|||
19 |
27,20 |
30,14 |
36,19 |
|
|
|
|
|
|||
20 |
28,41 |
31,41 |
37,57 |
|
|
|
|
|
|||
Если
,
то при заданном уровне значимости
и гипотеза о несущественности (случайности)
расхождения отклоняется и теоретическое
распределение не может служить моделью
для изучаемого эмпирического распределения.
Если
,
то эмпирический ряд хорошо согласуется
с выдвинутой гипотезой, и с вероятностью
(1-)
можно утверждать, что расхождение между
теоретическими и эмпирическими частотами
случайно.
Если в эмпирическом ряду распределение задано частостями, то критерий Пирсона вычисляется по формуле:
где
k – число групп, на которые разбито эмпирическое распределение;
wi – наблюдаемая частость признака в i-й группе;
-
теоретическая частость, рассчитанная
по предполагаемому распределению.
При использовании критерия Пирсона необходимо, чтобы объём исследуемой совокупности был не меньше 50, а численность каждой группы не менее 5.