Схемы 2го порядка

Введение

Процесс перехода от одного энергетического состояния цепи к другому называется переходным процессом. Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи: замыканием или размыканием вы­ключателей, изменением параметров цепи, изменением входного сигнала. Коммутация - это мгновенное изменение параметров схемы (R, L, С), самой схемы или приложенного к схеме напряжения (тока).

Переход от одного режима работы (докоммутационного) к другому режиму происходит не мгновенно, а в течение некоторого промежутка времени, называемого временем переходного процесса.

Это объясняется тем, что изменение энергии в реактивных эле­ментах (L и С) не может происходить мгновенно, так как в этом случае мощность источника:

в цепи должна быть бесконечно большой, реальные источники обладают конечной мощностью.

Поэтому в цепи ограниченной мощности энергия электрического поля конденсатора:

и энергия магнитного поля индуктивности могут изменяться только непрерывно, без скачков. Следствием этих положений и являются законы коммутации.

Первый закон коммутации:

ток через индуктивность непосредственно перед коммутацией (при t=0-) равен току через ту же индуктивность непосредственно после коммутации (при t=0+):

i_L(0-)=i_L(0+)=i_L(0).

Второй закон коммутации:

напряжение на емкости непосредственно до коммутации равно напряжению на емкости непосредственно после коммутации:

U_c(0-)=U_c(0+)=U_c(0).

Значения i_L(0) и U_c(0) называют независимыми начальными условиями.

Остальные величины: напряжения на индуктивностях и активных сопротивлениях, токи через емкости и активные сопротивления - могут изменяться скачкообразно. При расчете переходных процессов требуется также знание значений этих величин и их производных в начальный момент времени. Указанные значения называются зависимыми начальными условиями.

Если в цепи имеется только активное сопротивление r, т.к. нет ни электрического, ни магнитного поля, то переходного процесса не будет.

Время переходного процесса не зависит ни от величины тока, ни от величины напряжения - оно определяется только параметрами цепи через постоянную времени τ.

Задача об определении тока, напряжения как функций времени есть задача о решении неоднородных дифференциальных уравнений.

Глава 1. Расчет переходных процессов классическим методом

1.1 Основные положения расчета переходных процессов

Расчет переходных процессов классическим методом сводится к решению системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа в дифференциальной форме для послекоммутационной схемы.

Из полученной системы уравнений исключаем все неизвестные величины, кроме одной, получаем одно дифференциальное уравнение n-го порядка относительно искомой величины (i_L или U_c) вида

(1)

ще а_k ( k=0,l ...n) - постоянные коэффициенты.

Порядок уравнения определяется числом мест накопления энергии в послекоммутационной схеме.

Решение дифференциального уравнения с правой частью записывается в виде суммы частного решения (принужденной составляющей) и общего решения однородного уравнения (свободной составляющей):

i(t)=i_пр(t)+i_св(t) (2)

Принужденный режим - это установившийся режим в послекоммутационной схеме при t = ∞. Характер и величина принужденной составляющей определяются внешними источниками энергии. Например, если напряжение постоянное (U(t)=U=const), то и ток установившегося режима - принужденный ток - тоже должен быть постоянным, не зависящим от времени. Тогда все производные (при t = ∞ обратятся в нуль и

(3)

Если к цепи приложено синусоидальное напряжение, то и ток установившегося режима тоже будет синусоидальным. Расчет в этом случае удобнее производить в комплексной форме, и затем перейти от i_пр к мгновенному значению

Таким образом принужденное (частное) решение совпадает с установившимися значениями искомых величин.

Общее решение физически определяет электромагнитные процессы, происходящие в цепи при отсутствии внешних источников энергии, за счет того запаса энергии, который был в начальный момент времени в электрическом и магнитных полях, связанных с цепью. Общий вид свободной составляющей тока, найденной из дифференциального уравнения n-го порядка:

(4)

где t - время;

Ak - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий (при t = 0);

P_k- корни характеристического уравнения:

(5)

Число корней равно порядку дифференциального уравнения.

Корни характеристического уравнения реальных электрических цепей с потерями - отрицательные или комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, так как при отсутствии внешних источников все процессы в схеме должны затухать, потому что нет поступления энергии в схему. Общий вид решения для свободных составляющих переходного процесса зависит от вида корней характеристического уравнения.

Например, уравнение второго порядка может иметь: - два действительных, неравных, отрицательных корня, причем по абсолютной величине .

В этом случае режим называется апериодическим и выражение свободной составляющая тока имеет вид:

(6)

Характер изменения свободного тока при апериодическом процессе показан на рис. 1.1.

Рис 1.1.

Постоянные времени: ;

- два действительных корня р₁ = р₂,

тогда

(7)

В общем виде, если имеется m кратных корней р_i=-α

(8)

где i = 1,2,... ,m.

Такой режим называется пограничным или критическим, сам же переходной процесс апериодическим.

- два комплексных сопряженных корня с отрицательной действительной частью:

(9)

Режим называется периодическим или колебательным. В этом случае свободная составляющая записывается в таком виде:

(10)

Характер изменения свободного тока при колебательном режиме показан на рис. 1.2.

Рис. 1.2.

Огибающая колебания определяется кривой , где β - коэффициент затухания; чем больше β, тем быстрее затухает колебательный процесс. Период собственных колебаний ,

постоянная времени .

А и γ определяются значениями параметров схемы, начальными условиями, величиной Э.Д.С. источников и называются постоянными интегрирования.

Для получения выражения полного тока i(t) необходимо записать выражение (3) и (6) в виде суммы j(t) = i_пр(t) + i_св(t).

При больших t: lim i_св(t) = 0 и lim i(t) = i_np.

Проводя аналогичные рассуждения таким же образом можно рассчитать

U_c(t) = U_cnp(t) + U_CB(t).