Порядок расчета

1. Определяют независимые начальные условия i_L(0+) и U_C(0+), определяют мгновенные значения токов i_L и напряжений U_c и затем подставляют в них t=0-. По законам коммутации i_L(0+) = i_L(0-); U_c(0+) = U_c(0-).

2. Затем для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений. Если в эти уравнения подставить время t=0 и найденные значения i_L(0+) и U_C(0+), можно определить зависимые начальные условия.

Заметим, что по общепринятой методике определения зависимых начальных условий, необходимо решить систему уравнений, записанных по первому и второму законам Кирхгофа для токов и их производных в момент коммутации.

Однако законы коммутации для тока в индуктивности i_L(0-) = i_L(0+) и напряжения на емкости U_c(0-) = U_c(0+) позволяют воспользоваться принципом компенсации для расчета зависимых началь­ных условий. Для этого достаточно в ветвь, в которой имеется индуктивность, ввести вместо индуктивности источник тока, равный значению тока в этой индуктивности до коммутации J= i_L(0-). Причем направление источника тока совпадает с направлением тока i_L(0-), принятым в расчете. А в ветвь, в которой имеется емкость, ввести вместо емкости источник напряжения, равный по величине значению напряжения на емкости до коммутации U_c(0-); направление этого источника напряжения, как следует из принципа компенсации, противоположно найденному направлению напряжения U_C(0-).

Пример. Для схемы рис. 1.3 определить начальные условия, если параметры цепи: r₁=r₂=r₃=10 Ом; С=300 мкФ; e=100-sin(314^.t + 30°) В

Рис. 1.5

Решение

1. Определяем независимые начальные условия (расчет установившегося режима до коммутации):

U_c(0-) = U_c(0+);

U_c(t) = 47^.sin(314^.t- 32°) В

при t = 0-

U_c(0-) = 47^.sin(314^.t- 32°) = -25 В

2. Определяем зависимые начальные условия из уравнений Кирхгофа для схемы после коммутации

Записываем уравнения для момента времени t = 0+

Подставляем параметры цепи и рассчитываем систему уравнений относительно какого-либо тока, например, i₃(0+).

Записываем последнее уравнение через 1з(0+)

50 - 25 = 10 i₃(0+) + 10 i₃(0+) + 10 i₃(0+);

Затем определяем

i₂(0+) = i₁(0+) - i₃(0) = 4.17 - 0.83 = 3.66 A

откуда

Пример. В схеме на рис. 1.6. r₁ =r₂=10 Ом; r₃=20 Ом; L=0.1Гн; С=100мкФ; E=60 В.

До замыкания рубильника режим был установившимся. Определить начальные значения токов при t = 0+

Рис. 1.6

Решение

1. Определяем независимые начальные условия

U_c(0-) = U_c(0+) = E = 60 В.

i₂(0-) = i₂(0+) =

2. Определяем зависимые начальные условия. Для определения начальных значений токов i₁(0+) и i₃(0+) составляем расчетную схему для момента коммутации - рис. 1.7

Рис. 1.7.

Тогда

1.4. Определение постоянных интегрирования

Н

Рис. 1.8

ачальные условия U_C(0+) = U_C( 0-) = U_c(0) и i_L(0+) = i_L(0-) = i_L(0) служат для определения постоянных интегрирования Ак. Для изложения этих условий нужно сначала записать значения величин которые не могут изменяться скачком. Так для цепи второго порядка (рис. 1.8)

При нулевых начальных условиях можно записать

U_c(0)=U_Спр(0)+А₁+А₂=0

i(0)=i_пр(0)+c^.А₁^.p₁+ c^.А₂^.p₂=0

Из этих уравнений определяют A₁ и A₂.

Постоянные интегрирования можно найти, используя свободные составляющие токов и напряжений.

Для любой схемы с помощью уравнений Кирхгофа и законов коммутации можно найти: числовое значение искомого свободного тока при t=0+, обозначим его i_св(0+); числовое значение первой или высших производных от свободного тока при t=0+ обозначим i'_св(0+).

Приведем методику определения постоянных интегрирования А₁, А₂,…, полагая известными i_св(0+), i'_св(0+),..., и значения корней р₁, р₂,… .

Если характеристическое уравнение цепи представляет собой уравнение второго порядка и корни его действительны и не равны, то

(11)

Продифференцируем это уравнение по времени

(12)

Запишем уравнения (11) и (12) при t=0+ (учтём, что при t=0 ), получим

i_св(0+) = А₁+А₂;

i'_св(0⁺) ⁼ р₁А₁+р₂А₂.

Совместное решение уравнений (11) и (12) даёт

;

.

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными (9), то свободный ток записывается в виде

Угловая частота w_cb и коэффициент затухания β известны из решения характеристического уравнения. Определение двух неизвестных производят в этом случае по значениям i_св(0+) и i’_св(0+). Продифференцировав по времени уравнение (13) получим

(14)

Запишем уравнения (13) и (14) при t=0+:

(15)

Совместное решение уравнений (15) даёт искомые значения А и γ.