1.2. Составление характеристического уравнения и определение его корней

Характеристическое уравнение (5) для корней р_k можно получить следующими способами:

1. Из дифференциального уравнения n-го порядка (1), полученного из системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа для послекоммутационной схемы [2].

2. Алгебраизацией системы однородных дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа для свободных составляю­щих, и использованием главного определителя системы Δ= 0[1.с.330].

3. Приравниваем к нулю определитель контурной Z^(k)(p) или узловой Y^(y) матрицы [4, с 411-412].

4. Использованием выражения для выходного сопротивления цепи [1, с 333]. Характеристическое уравнение Z_вх(p)=0 можно получить из входного комплексного сопротивления цепи на переменном токе Z_вх(jw) заменой jw на р.

Этот метод, называемый методом входного сопротивления, является наиболее простым методом составления характеристического уравнения.

Необходимо отметить, что порядок характеристического уравнения равен числу основных независимых начальных условий i_L(0), U_c(0) в послекоммутационной схеме при максимальном ее упрощении.

Для получения характеристического уравнения:

1. Составляют схему дня свободных составляющих токов. Для этого в схеме, полученной после коммутации, все источники энергии заменяют их внутренними сопротивлениями, а элементы r, L, С заменяют соответственно равными r, pL, 1/pC.

2. Если в схеме для свободных токов нет ветвей, замкнутых накоротко, размыкают любую ветвь, определяют входное сопротивление Z_вх(p) и приравнивают его нулю. Получают характеристическое уравнение. Чтобы упростить алгебраические преобразования, для получения характеристического уравнения следует размыкать ветвь с небольшим числом элементов, отдавая при этом предпочтение ветви с сопротивлением 1/рС.

В схемах с индуктивно связанными катушками при определении Z_вх(р) следует произвести развязку магнитных связей. Если в схеме для свободных токов есть короткозамкнутая ветвь, то размыкают ту ветвь, в которой рассчитывают переходный ток.

Пример. Для схемы рис.1.3 составить характеристическое уравнение и определить корни.

Рис. 1.3. Рис. 1.4.

Решение

Для цепи рис 1.3. составляем после коммутации схему для свободных составляющих токов (рис.1.4.). Размыкаем любую ветвь (например, r₁-pL) и относительно точек разрыва определяем входное сопротивление схемы

Приравняв его нулю, получим характеристическое уравнение

Это же характеристическое уравнение можно получить, если опре­делитель матрицы контурных сопротивлений приравнять нулю. Используя метод контурных токов получаем

Окончательно

1.3. Определение начальных условий

Начальными условиями называют значения токов, напряжений и их производных в начальный момент переходного процесса, т.е. непосредственно после коммутации (при t=0+). Значения токов через индуктивности и напряжений на емкостях, известные из докоммутационного режима при t=0-, называют независимыми начальными условиями. Независимые начальные условия определяются из законов коммутации:

i_L(0+) = i_L(0-), U_c(0+) = U_c(0-).

Остальные токи и напряжения i_c, i_r, U_L, Ur, и т.д. до и после коммутации не одинаковы. Их значения в момент t = 0+ определяются независимыми начальными условиями, характером коммутации.

Поэтому они получили название зависимых начальных условий и определяются по независимым начальным условиям из законов Кирхгофа.

Если до коммутации к моменту t=0 имелись токи в катушках и напряжения на конденсаторах, то имеют место ненулевые начальные условия. В случае же, когда токи в катушках и напряжения на конденсаторах до коммутации были равны нулю, имеют место нулевые начальные условия. При нулевых начальных условиях токи в индуктивностях и напряжения на емкостях начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях - с тех значений, которые они имели непосредственно до коммутации.