2. Проверка гипотезы о распределении размеров в выборке

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели (гипотезе) закона распределения использует­ся критерий согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенный разными авторами.

Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гис­тограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпа­дение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при боль­шом числе измерений и заключается в вычислении величины (хи-квадрат):

, (8)

где и – экспериментальные и теоретические значения частот в -м интервале рассеяния.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал вы­числяется в общем виде из соотношения

,

Где – функция распределения вероятностей или интегральная функция распределения.

При случайная величина имеет распределение Пирсона с числом степе­ней свободы , где – число определяемых по статистике параметров, необ­ходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределе­ния , так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров математического ожидания и СКО.

Таким образом, вычисленную для данной выборки величину сравнивают с кри­тической точкой, взятой из таблиц теоретического распределения , по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы . Если , отклонения тео­ретического и эмпирического закона распределения считается незначительным, т.е. проверяемая статистическая гипотеза верна. В противном случае гипотеза отвергается.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов рас­пределения заключается в следующем:

1. определяют оценки среднего арифметического значения и СКО по форму­лам (4) и (5);

2. группируют результаты многократных наблюдений по интервалам (разрядам) длиной , число которых определяют так же, как и при построении гистограммы;

3. для каждого разряда разбиения определяют его центр и подсчитывают число наблюдений , попавших в каждый из интервалов, теоретически соответствующее вы­бранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов переходят к нормированным серединам

. (9)

Затем для каждого значения с помощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей . Например, для нормального закона

,

или по таблицам дифференциальной функции нормального распределения (табл. П1 приложения).

По найденному значению определяют ту часть имеющихся наблюдений, ко­торая теоретически должна быть в каждом из интервалов:

, (11)

где – общее число наблюдений.

Если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы , где – общее число интервалов, – число укрупненных интервалов.

По формуле (8) определяют показатель разности частот ;

Выбирают уровень значимости критерия . Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы по табл. П2 приложения находят границу критической области такую, что . Вероятность того, что полученное значение перевеши­вает , равна а и мала. Поэтому, если оказывается, что , то гипотеза о сов­падении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Ес­ли же то гипотеза принимается.

Чем меньше , тем большее значение . тем легче выполняется условие и проверяемая гипотеза принимается. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать .

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью принимают про­верки с двусторонними критическими областями. При этом оценивают вероятность . Уровень значимости критерия делится на две части . Как правило, принимают ; и . Гипотеза о совпадении рас­пределений принимается, если

Пример 2. По данным примера 1 проверить гипотезу о законе распределения слу­чайной величины , используя критерий , на уровне значимости , результа­ты измерений которой представлены выборкой объемом ; ; ; .

Решение. По виду гистограммы (рис. 1) выдвигаем гипотезу о нормальном распре­делении. Для вычислений целесообразно все данные свести в табл. 4.

Пояснения к табл. 4:

1. При вычислении аргумента дифференциальной функции нормированного распределения использованы данные предыдущих расчетов (пример 1). Значения функции находятся по табл. П. 1 приложения и заносятся в колонку 6 (табл. 4).

2. В колонке 7 вычисляется плотность вероятности физической величины в едини­цах этой величины.

3. При вычислении критерия частоты меньше 5 эмпирического и теоретического распределений суммируются с соседними интервалами (колонки 3 и 8).

Для нахождения граничных значений критерия определяем число степеней сво­боды:

где – число разрядов, – число связей, накладываемое законом распределе­ния, – число укрепленных интервалов.

При и уровне значимости по табл. П. 2 приложения находим гра­ничные значения критерия :

; .

Так как и , то гипотеза о нормальном рас­пределении принимается.

Таблица 4

Номер разряда	Середина разряда	Частота
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1,09	4	-0,23	-2,11	0,0431	0,3954	3,16
2	1,17	12	-0,15	-1,38	0,1539	1,4120	11,30	0,164
3	1,25	20	-0,07	-0,64	0,3251	2,9826	23,96	0,624
4	1,33	36	0,01	0,09	0,3973	3,6450	29,16	1,604
5	1,41	16	0,09	0,82	0,2850	2,6147	20,92	1,087
6	1,49	8	0,17	1,56	1,0844	1,0844	8,68	0,046
7	1,56	4	0,24	2,20	0,3255	0,3257	2,60
	-	100	-	-	-	-	-	3,525