5. Проверка гипотезы о независимости последовательности результатов измерений

Целью экспериментальных исследований является установление закономерностей тех или иных физических, биологических, технологических процессов. Например, при контроле качества продукции решается задача: существует ли закономерность (систе­матическая зависимость) в результатах измерения размеров деталей, изготовленных ав­томатом, или отклонения имеют случайный характер. Для решения подобных задач ис­пользуют непараметрические критерии знаков (серий) и тренда.

Критерий знаков (серий). Пусть, например, получено результатов измерений случайной величины . Сравнивая экспериментальные данные с некоторой величиной , каждый результат измерения можно отнести в одну из групп, которую обозначим знаками и . Если , результату присваивается знак , если , знак . Тогда полученную совокупность результатов измерений можно представить последовательностью знаков и , например:

В этом ряду под серией будем понимать последовательность случайных величин одного типа, имеющих одинаковый знак. В примере их результатов измерений имеется серий. Число серий - случайная величина, позволяющая определить, являются ли результаты данной последовательности измерений независимыми. Если полученные результаты независимы, это будет означать равновероятность появления знаков и ; тогда исследуя сочетание знаков, можно найти распределение числа серий из элементов и . Оно представляет собой симметричное одномодальное (одновершинное) распределение , для которого

; б,

где и – число результатов измерений со знакам и соответственно. Для распределения числа серий составлена таблица критических точек [2], позволяю­щая проверить гипотезу о независимости результатов измерений. При заданном уровне значимости проверка осуществляется путем сопоставления полученного числа серий с критическими точками распределения . Гипотеза принимается, если в противном случае – отвергается. В качестве величины, с которой сравниваются результаты выборки, используют медиану, т. е. такое значение , при котором

Для нахождения выборочной медианы необходимо все результаты измерений рас­положить в порядке возрастания и в качестве медианы взять средний (по номеру) из них. Если число измерений четно, то медиана равна полусумме двух средних результа­тов ряда.

Критерий знаков (серий) имеет наибольшую мощность при выявлении системати­ческих зависимостей, носящих колебательный характер.

Критерий тренда. Для последовательности – результатов измерений случайной величины X определяет число случаев, когда

Каждое неравенство называется инверсией. При этом

Для этого -го результата измерений число инверсий равно , а общее число инверсий для всей последовательности результатов . Если получен­ные результаты измерений являются независимыми, то число инверсий есть случайная величина, имеющая распределение с числовыми характеристиками

; .

Для распределения инверсий составлена таблица критических точек в зависимости от уровня значимости а. Тогда в соответствии с общим принципом критериев согласия проверка гипотезы о независимости результатов измерений с использованием критерия тренда заключается в сравнении полученного числа инверсий с критическими точками, взятыми из таблицы распределения инверсий. Область принятия гипотезы о независи­мости результатов измерений .

Критерий тренда обладает наибольшей мощностью при выявлении систематиче­ских зависимостей, носящих монотонно возрастающий или убывающий характер.

При проверке гипотезы о наличии или отсутствии систематических зависимостей в полученных результатах измерений целесообразно использовать оба критерия для каче­ственного определения их вида.

Пример 1

Проверить гипотезу о независимости последовательности представленных результа­тов измерений на уровне значимости :

1,82 2,57 3,18 3,67 2,47 3,09 2,00 2,71 2,34 3,03

1,69 2,46 3,09 2,00 1,10 0,36 0,24 0,73 1,44 1,27

Решение

Используя критерии знаков (серий) и тренда, построим вариационный ряд:

0,24 0,36 0,73 1,10 1,27 1,44 1,69 1,82 2,00 2,00

2,34 2,46 2,47 2,57 2,71 3,03 3,09 3,09 3,18 3,67

Вычисляем выборочную медиану . Сравнивая каждый результат измерения с выборочной медианой, получим пос­ледовательность знаков и :

В этой последовательности число серий . Из табл. П. 4 приложения [ 2 ] на­ходим критические точки распределения числа серий:

Так как , то по этому критерию гипотеза о независимости последователь­ности результатов измерений принимается.

Далее определим число инверсий:

Общее число инверсий

По табл. П. 5 [ 2 ] находим критические точки распределения инверсий

; .

Полученное значение не входит в область принятия гипотезы. Следова­тельно, по этому критерию гипотеза о независимости последовательности результатов измерений отклоняется.

Поскольку используемые критерии имеют разную мощность при выявлении систе­матических зависимостей, носящих монотонно возрастающий или убывающий харак­тер, то с учетом графического изображения этой последовательности (рис. 4) принима­ется гипотеза, что результаты измерений имеют систематическую зависимость, нося­щую монотонно убывающий характер.

Задача. Проверить гипотезу о независимости последовательности результатов из­мерений на уровне значимости а для вариантов, представленных в табл. 8.

Таблица 8

Окончание таблицы 8

№	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
	0,05	0,02	0,05	0,02	0,02	0,05	0,02	0,02	0,05	0,02	0,05	0,05
X1	0,26	0,08	0,75	2,16	1,93	0,92	1,21	0,90	0,70	0,18	0,54	0,33
X2	1,28	0,93	0,01	1,24	2,65	0,56	0,47	0,33	0,37	0,19	0,19	0,13
X3	0,52	0,06	1,12	2,09	3,24	0,11	0,17	0,09	0,63	0,59	0,03	0,72
X4	0,12	0,06	0,32	1,18	3,73	0,73	1,94	0,25	0,47	0,47	0,69	0,76
X5	0,64	0,91	0,36	2,04	2,52	0,90	1,83	0,55	0,13	0,83	0,09	0,64
X6	0,56	0,32	0,82	1,14	3,13	0,24	2,58	0,93	0,47	0,18	0,97	0,33
X7	0,08	0,21	1,78	0,40	2,03	0,21	1,58	0,34	0,26	0,10	0,76	0,10
X8	0,60	0,30	2,57	0,21	1,13	0,98	0,77	0,38	0,70	0,20	0,51	0,24
X9	0,49	0,10	1,22	2,49	1,87	0,73	0,41	0,69	0,10	0,20	0,51	0,87
X10	0,23	0,52	2,11	1,43	1,49	0,49	0,51	0,53	0,59	0,49	0,41	0,14
X11	1,03	0,59	1,50	0,91	1,99	0,97	1,70	0,42	0,37	0,20	0,24	0,39
X12	1,38	0,48	2,34	1,82	1,10	0,96	2,46	0,45	0,36	0,50	0,77	0,26
X13	1,67	0,56	3,03	2,56	0,36	0,04	1,49	0,42	0,24	0,36	0,32	0,22
X14	1,90	0,59	1,87	1,57	1,36	0,85	0,68	0,89	0,12	0,03	0,50	0,33
X15	2,10	0,41	0,92	0,76	2,18	0,75	1,63	0,93	0,90	0,18	0,78	0,82
X16	0,65	0,45	0,14	0,09	2,86	0,84	0,80	0,01	0,66	0,12	0,59	0,60
X17	1,06	0,24	1,24	0,47	1,82	0,60	0,12	0,47	0,86	0,40	0,17	0,70
X18	0,20	0,52	0,41	0,69	0,96	0,30	0,45	0,88	0,63	0,20	0,64	0,50
X19	0,36	0,33	0,96	0,59	0,43	0,20	0,62	0,39	0,54	0,65	0,15	0,76
X20	0,93	0,14	1,90	0,70	1,44	0,87	0,84	0,30	0,67	0,16	0,48	0,52

Ответы

R0	8	10	6	10	6	11	9	13	9	7	12	7
J0	74	83	74	121	135	96	105	90	84	95	96	80