- •1. Обработка результатов измерений. Прямые многократные измерения
- •2. Проверка гипотезы о распределении размеров в выборке
- •3. Проверка гипотезы о равномерном распределении по критерию
- •4. Оценка результатов при малом числе измерений и неизвестном
- •5. Проверка гипотезы о независимости последовательности результатов измерений
- •6. Обработка результатов косвенных измерений
- •Приложение Статистические таблицы
4. Оценка результатов при малом числе измерений и неизвестном
По опытным данным, представленным в виде выборки независимых значений , , ,..., объема случайной величины , одним из возможных способов находится точечная оценка математического ожидания .
Предположим, что величина является гауссовой, т. е. подчиняется закону нормального распределения Гаусса. В этом случае в качестве эффективной опенки целесообразно выбрать выражение
. (15)
Если известна , которая называется доверительной, так как характеризует достоверность и надежность неравенства
, (16)
Где , то интервал называется доверительным интервалом нахождения оценки. Величина доверительного интервала, равная в этом случае , является мерой точности определения .
При оценивании любой вероятностной характеристики стремятся установить вероятностное неравенство
, (17)
позволяющее охарактеризовать меру точности и вероятности определения . Оценка в, представленная в виде неравенства (17), называется доверительной. Если перейти к центрированной и нормированной случайной величине
, (18)
то неравенство (17) примет вид:
где
Здесь – аргумент функции Лапласа, – доверительные границы доверительного интервала.
Неравенство (20) позволяет решать следующие задачи:
по заданным и устанавливать меру точности оценивания ;
по заданным и устанавливать вероятность оценивания ;
по заданным и устанавливать требуемый объем выборочных данных.
Однако значение , используемое в неравенстве (19), как правило, бывает неизвестным. В этом случае значение заменяют оценкой , полученной тем или иным способом. Границы доверительного интервала (20) переменной , а следовательно, и значение определяются с погрешностью, которая будет тем меньше, чем больше объем выборки .
Погрешность доверительной оценки математического ожидания будет отсутствовать, если дисперсия определена по формуле:
, (21)
и используется новая случайная переменная
, (22)
где – аргумент Лапласа, определяется выражением из выражения (21); .
Закон распределения плотности вероятности случайной переменной известен – это закон распределения Стьюдента , зависящий от числа степеней свободы , причем .
В приложении представлена табл. П. 3 значений интеграла – распределения Стьюдента для различных и :
. (23)
На основании выражений (22) и (23) вероятностное выражение (17) для принимает вид
, (24)
где . (25)
Пример 4. По выборке объёма в соответствии с выражениями (15) и (21) были наёдены точечные оценки .
Требуется с доверительной вероятностью определить доверительный интервал, в котором находится искомое значение
Решение. 1) Для значения и по табл. П. 3 находим значение .
2) В соответствии с формулой (25) для определяем
3) В соответствии с неравенством, аналогичным (16), полученным из соотношения (19), имеем Таким образом, с доверительной вероятностью искомое значение .
4) Приближенную оценку найдем из условия по (20) определим аргумент функции Лапласа по заданному значению по табл. П. 3 приложения Тогда .
Таким образом с доверительной вероятностью приближенное значение , т.е.
Пример 5. Используя данные примера 4 , найти доверительную вероятность оценивания с абсолютной погрешностью не более 1,0.
Решение. 1) По условию задачи абсолютная погрешность
.
Следовательно, .
2) По формуле (25) находим
.
3) Для значения по табл. П. 3 приложения находим методом линейной интерполяции для доверительную вероятность:
;
Таким образом, при данном объеме выборки стремление уменьшить абсолютную погрешность оценивания до значения 1,0 привело к снижению достоверности нахождения в заданном интервале до значения вероятности 0,82. По сравнению с вероятностью 0,95 (см. пример 4) снижение надежности является существенным.
Единственным способом повышения точности оценивания при сохранении надежности является увеличение объема выборки.
Пример 6. Используя данные примеров 4 и 5, установить объем выборки п, обеспечивающий доверительную вероятность .
Решение. Решение целесообразно вести методом последовательного приближения:
1) Задаемся ; .
По табл. П. 3 приложения для находим . По формуле (25) для рассчитываем . Так как , то необходимо увеличивать .
2) Задаваемая ; . По табл. П. 3 для , находим . По формуле (25) рассчитываем . Так как не сколько выше , то еще увеличиваем .
3) Задаваемая ; . По табл. П. 3 для , находим . По формуле (25) рассчитываем . Так как то решение закончено. Требуемый объем выборки, обеспечивающий с вероятностью , равен .
Ниже идут условия типовых задач по интервальной оценке математического ожидания. Варианты задач представлены в табл. 6 и 7.
Задача 1. Путем сличения с показаниями образцового измерительного прибора найдено п значений погрешности испытываемого прибора. Рассчитаем эффективные точечные оценки , (табл.6).
Требуется с доверительной вероятностью установить доверительный интервал абсолютной случайной погрешности испытываемого прибора.
Провести те же расчеты по приближенным формулам, полагая с . Сравнить результаты измерений.
Задача 2. Для значений , , представленных в табл. 6 задачи 1, требуется рассчитать доверительную вероятность оценки случайной погрешности испытываемого измерительного прибора с абсолютной погрешностью наблюдений не более .
Таблица 6
№ |
Параметры |
Результат |
||||
|
|
|
|
точный |
приближённый |
|
1 |
6 |
0,010 |
0,015 |
0,90 |
-0,002…0,022 |
0,000…0,020 |
2 |
8 |
0,012 |
0,030 |
0,95 |
-0,013…0,037 |
-0,009…0,033 |
3 |
7 |
0,014 |
0,020 |
0,98 |
-0,010…0,038 |
-0,004…0,032 |
4 |
9 |
0,009 |
0,021 |
0,99 |
-0,014…0,032 |
-0,009…0,027 |
5 |
11 |
0,013 |
0,030 |
0,98 |
-0,012…0,038 |
-0,008…0,034 |
6 |
13 |
0,017 |
0,010 |
0,95 |
0,011…0,023 |
0,012…0,022 |
7 |
15 |
0,011 |
0,020 |
0,90 |
0,002…0,020 |
0,003…0,019 |
8 |
17 |
0,015 |
0,014 |
0,99 |
0,005…0,025 |
0,006…0,024 |
9 |
19 |
0,016 |
0,018 |
0,999 |
0,000…0,032 |
0,003…0,029 |
Задача 3. Для значений , и представленных в табл. 6, и значений из табл. 7 требуется рассчитать необходимый объем выборки .
Ответ: .
Таблица 7
№ |
|
Результат, |
|
точный |
приближённый |
||
1 |
0,012 |
0,900 |
0,950 |
2 |
0,025 |
0,950 |
0,982 |
3 |
0,024 |
0,988 |
0,998 |
4 |
0,024 |
0,990 |
0,999 |
5 |
0,025 |
0,973 |
0,994 |
6 |
0,006 |
0,950 |
0,969 |
7 |
0,009 |
0,930 |
0,918 |
8 |
0,010 |
0,990 |
0,997 |
9 |
0,016 |
0,999 |
0,999 |