1.3 Приклади виконання задач самостійної роботи №1

Приклад 1.3.1 Розв’язати задачу Коші

(1.7)

, , (1.8)

Розв’язок: Інтегруючи (1.7) послідовно три рази, отримаємо

,

(1.9)

Підставимо початкові дані (1.8) в (1.9)

,

,

Розв’язок задачі Коші буде мати вигляд

Приклад 1.3.2 Розв’язати рівняння

(1.10)

Розв’язок: Рівняння не містить і , тому покладемо . Рівняння набуде вигляду . Розділюємо змінні та інтегруємо: . Замінимо на : . Послідовно інтегруючи, одержимо

,

.

Приклад 1.3.3 Розв’язати рівняння

(1.11)

Розв’язок: Рівняння не містить змінної . Покладаючи , , отримаємо рівняння Бернуллі . Підстановкою воно зводиться до лінійного рівняння , загальний розв’язок якого . Замінюючи на , отримаємо . Звідки , або , де .

Приклад 1.3.4 Розв’язати рівняння

(1.12)

Розв’язок: Дане рівняння однорідне відносно . Його порядок знижується на одиницю підстановкою , де - нова невідома функція від . Маємо

,

Підставляючи в (3.12), одержимо

або ,

Це рівняння лінійне. Його загальним розв’язком є . Знаходимо інтеграл

Загальний розв’язок рівняння (1.12) має вигляд або . Окрім того, рівняння має розв’язок

Приклад 1.3.5 Розв’язати рівняння

(1.13)

Розв’язок: Покажемо, що це рівняння – узагальнене однорідне. Вважаючи величинами першого, - го, - го і - го вимірів, відповідно та прирівнюючи виміри усіх членів, отримаємо . Звідки . Зробимо підстановку , . Так як ,

,

то дане рівняння після скорочення на множник набуде вигляду . Покладаючи , , отримаємо , звідки або . Інтегруючи друге рівняння, знайдемо або . Загальним розв’язком цього рівняння є . Повертаючись до змінних та , отримаємо загальним розв’язок рівняння (3.13): .

2 Самостійна робота № 2 Лінійні диференційні рівняння - го порядку

2.1 Лінійна незалежність функцій. Визначник Вронського

Нехай маємо скінчену систему з функцій , визначену на інтервалі . Функції називаються лінійно залежними на інтервалі , якщо існують сталі , не всі рівні нулю, такі що для всіх значень з цього інтервалу має місце тотожність

(2.1)

Якщо ця тотожність виконується тільки при , то функції називаються лінійно незалежними на інтервалі .

Нехай функцій мають похідні - го порядку. Визначник

(2.2)

називається визначником Вронського для цих функцій.

Теорема: Якщо система функцій лінійно незалежна на відрізку , то визначник Вронського цих функцій тотожньо рівний нулю на цьому відрізку.

Ця теорема дає необхідну умову лінійної залежності системи функцій.

2.2 Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами

Нехай маємо диференційне рівняння

(2.3)

де - дійсні сталі.

Складемо характеристичне рівняння для рівняння (2.3)

(2.4)

Нехай корені рівняння (2.4), причому серед них можуть бути кратні.

Можливі наступні випадки:

а) - дійсні і різні. Тоді фундаментальна система розв’язків рівняння (4.3) має вигляд і загальний розв’язок однорідного рівняння буде

(2.5)

б) корені характеристичного рівняння дійсні, але серед них є кратні. Нехай, наприклад, , тобто є - кратним коренем рівняння (4.4), а всі інші коренів різні. Фундаментальна система розв’язків в цьому випадку має вигляд

;

загальний розв’язок

(2.6)

в) серед коренів характеристичного рівняння є комплексні

Нехай , , , , а інші корені дійсні. Фундаментальна система розв’язків в цьому випадку має вигляд

,

а загальний розв’язок

(2.7)

г) якщо є - кратним коренем рівняння (2.4) , то також буде - кратним коренем, і фундаментальна система розв’язків буде мати вигляд:

а загальний розв’язок