- •1 Самостійна робота № 1 Диференційні рівняння вищих порядків. Зниження порядку рівнянь
- •1.2 Індивідуальні завдання
- •1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •1.3 Приклади виконання задач самостійної роботи №1
- •2 Самостійна робота № 2 Лінійні диференційні рівняння - го порядку
- •2.1 Лінійна незалежність функцій. Визначник Вронського
- •2.2 Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
- •2.3 Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
- •2.4 Індивідуальні завдання
- •1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •3 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •4 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •5 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння
- •6 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •7 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •2.5 Приклади виконання задач самостійної роботи №2
- •3 Самостійна робота № 3 Системи лінійних диференціальних і рівнянь зі сталими коефіцієнтами
- •3.1 Індивідуальні завдання
- •3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3
- •4 Література
- •5 Вимоги до оформлення лабораторних робіт
- •Додаток а Зразок титульної сторінки лабораторної роботи
3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3
Приклад 3.2.1 Розв’язати систему методом зведення до одного рівняння другого порядку
(3.8)
Розв’язок: Виключимо . З першого рівняння маємо . Підставляючи друге рівняння, отримаємо . Загальним розв’язком цього рівняння є . Звідки, .
Приклад 3.2.2 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь
(3.9)
Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння
(3.10)
, , .
Для простого кореня знаходимо власний вектор , розв’язуючи систему
(3.11)
(коефіцієнти цієї системи рівні елементам визначника (3.10) при ). З (3.11) знаходимо . Значить, вектор - власний, і
, , (3.12)
- частинний розв’язок системи (3.9).
Для кратного кореня спочатку визначимо число лінійно незалежних власних векторів. При з (3.10) отримаємо матрицю
Її порядок , ранг . Число лінійно незалежних власних векторів дорівнює . Корінь має кратність . Так як , то розв’язок треба шукати у вигляді
, , (3.13)
Щоб знайти коефіцієнти підставимо (3.13) в систему (3.9) та порівняємо коефіцієнти подібних членів. Отримаємо систему
(3.14)
Знайдемо загальний розв’язок цієї системи. З двох лівих рівнянь маємо , . Підставляючи це в останні рівняння, отримаємо
, (3.15)
( всі інші рівняння є слідством рівнянь (3.15)). Розв’язуємо систему (5.15) відносно і : , .
Таким чином, всі невідомі є вираженими через і . Покладемо , , маємо , , . Загальний розв’язок системи (5.14) знайдено.
Підставляючи знайдені значення в (5.13) і додаючи частинний розв’язок (3.12). помножений на , отримаємо загальний розв’язок системи (3.9):
, , .
Приклад 3.2.3 Розв’язати систему лінійних однорідних рівнянь
(3.16)
Розв’язок: Знайдемо корені характеристичного рівняння
,
,
Для кореня знаходимо власний вектор :
Можна взяти , . Маємо частинний розв’язок
, (3.17)
Так як система (3.16) є системою зі сталими коефіцієнтами, то розв’язок, який відповідає кореню , можна не розшукувати, він буде комплексно спряженим з (3.17). Для того щоб отримати два дійсних розв’язки, треба взяти дійсну та уявну частини знайденого комплексного розв’язку, користуючись відомою функцією Ейлера: . Тоді
Загальний розв’язок буде мати вигляд:
Приклад 3.2.4 Методом варіації довільних сталих розв’язати систему лінійних неоднорідних рівнянь
(3.18)
Розв’язок: Розв’яжемо спочатку однорідну систему
(3.19)
одним з відомих методів. Одержимо
(3.20)
Розв’язок неоднорідної системи (3.18) будемо шукати у вигляді
(3.21)
Після підстановки (3.21) в (3.18) отримаємо
Звідки
Інтегруючи, одержимо
де - сталі інтегрування.
Підставляючи знайдені значення і в (3.21), отримаємо загальний розв’язок системи (3.18)
4 Література
4.1 Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1970.- 280 с.
4.2 Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.- М.: Наука, 1970.- 332 с.
4.3 Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1958.- 468 с.
4.4 Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- Минск: Вышейш. шк., 1987.- 320 с.
4.5 Киселев А.И., Краснов М.Л., Макаренко Г.И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.: «Высшая школа», 1967.- 312 с.
4.6 Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.- М.: Наука, 1985.- 128 с.