3 Самостійна робота № 3 Системи лінійних диференціальних і рівнянь зі сталими коефіцієнтами

Лінійною системою зі сталими коефіцієнтами називається система вигляду

, (3.1)

де - задані числа, а - задані функції.

Лінійна система називається однорідною, якщо всі .

Розв’язком системи (3.1) в інтервалі називається сукупність функцій

, (3.2)

які визначені на інтервалі та мають на цьому інтервалі неперервні похідні, якщо функції (3.2) обертають рівняння системи (3.1) у тотожність при будь-яких значеннях з інтервалу .

Задача знаходження розв’язку

, (3.3)

який задовольняє початковим умовам

(3.4)

називається задачею Коші.

Існує декілька способів розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами вигляду (3.1).

Простіше усього система (3.1) інтегрується шляхом зведення її до одного рівняння порядку . Цей метод зручно використовувати лише для нескладних систем.

Для знаходження розв’язків лінійної однорідної системи вигляду

(3.5)

або у векторній формі, , де - вектор, - матриця

,

використовують наступний метод:

Знаходять корені характеристичного рівняння

(3.6)

Кожному простому кореню характеристичного рівняння відповідає розв’язок , де - довільна стала, - власний вектор матриці , який відповідає .

Якщо для кратного кореня відповідає стільки лінійно незалежних власних векторів , яка його кратність, то йому відповідає розв’язок .

Якщо для кореня кратності є тільки лінійно незалежних власних векторів, і , то розв’язок , який відповідає цьому , можна шукати у вигляді добутку багаточлена ступені на , тобто у вигляді

(3.7)

Для знаходження коефіцієнтів треба підставити розв’язок (3.7) в систему (3.5). Прирівнюючи коефіцієнти при подібних членах, одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно . Треба знайти загальний розв’язок цієї системи. Коефіцієнти повинні залежати від довільних сталих, де кратність кореня. Додаючи розв’язки, знайдені для кожного , отримаємо розв’язок системи (3.5).

Для знаходження розв’язків лінійних неоднорідних систем зі сталими коефіцієнтами використовують метод варіації довільних сталих.

3.1 Індивідуальні завдання

1 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

2 Розв’язати задачу Коші, згідно варіанту:

3.1.1 , ,

3.1.2 , ,

3.1.3 , ,

3.1.4 , ,

3.1.5 , ,

3.1.6 , ,

3.1.7 , ,

3.1.8 , ,

3.1.9 , ,

3.1.10 , ,

3.1.11 , ,

3.1.12 , ,

3.1.13 , ,

3.1.14 , ,

3.1.15 , ,

3.1.16 , ,

3.1.17 , ,

3.1.18 , ,

3.1.19 , ,

3.1.20 , ,

3 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь, згідно варіанту:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20

4 Знайти загальний розв’язок системи диференційних рівнянь, згідно варіанту:

3.1.1	3.1.2
3.1.3	3.1.4
3.1.5	3.1.6
3.1.7	3.1.8
3.1.9	3.1.10
3.1.11	3.1.12
3.1.13	3.1.14
3.1.15	3.1.16
3.1.17	3.1.18
3.1.19	3.1.20