- •1 Самостійна робота № 1 Диференційні рівняння вищих порядків. Зниження порядку рівнянь
- •1.2 Індивідуальні завдання
- •1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •1.3 Приклади виконання задач самостійної роботи №1
- •2 Самостійна робота № 2 Лінійні диференційні рівняння - го порядку
- •2.1 Лінійна незалежність функцій. Визначник Вронського
- •2.2 Лінійні однорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
- •2.3 Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами
- •2.4 Індивідуальні завдання
- •1 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •2 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •3 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •4 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •5 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння
- •6 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •7 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
- •2.5 Приклади виконання задач самостійної роботи №2
- •3 Самостійна робота № 3 Системи лінійних диференціальних і рівнянь зі сталими коефіцієнтами
- •3.1 Індивідуальні завдання
- •3.2 Приклади виконання задач самостійної роботи №3
- •4 Література
- •5 Вимоги до оформлення лабораторних робіт
- •Додаток а Зразок титульної сторінки лабораторної роботи
3 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
2.4.1 |
2.4.2 |
2.4.3 |
2.4.4 |
2.4.5 |
2.4.6 |
2.4.7 |
2.4.8 |
2.4.9 |
2.4.10 |
2.4.11 |
2.4.12 |
2.4.13 |
2.4.14 |
2.4.15 |
2.4.16 |
2.4.17 |
2.4.18 |
2.4.19 |
2.4.20 |
4 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
2.4.1 |
2.4.2 |
2.4.3 |
2.4.4 |
2.4.5 |
2.4.6 |
2.4.7 |
2.4.8 |
2.4.9 |
2.4.10 |
2.4.11 |
2.4.12 |
2.4.13 |
2.4.14 |
2.4.15 |
2.4.16 |
2.4.17 |
2.4.18 |
2.4.19 |
2.4.20 |
5 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння
2.4.1 |
2.4.2 |
2.4.3 |
2.4.4 |
2.4.5 |
2.4.6 |
2.4.7 |
2.4.8 |
2.4.9 |
2.4.10. |
2.4.11 |
2.4.12 |
2.4.13 |
2.4.14 |
2.4.15 |
2.4.16 |
2.4.17 |
2.4.18 |
2.4.19 |
2.4.20 |
6 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
2.4.1 |
2.4.3 |
2.4.5 |
2.4.7 |
2.4.9 |
2.4.11 |
2.4.13 |
2.4.15 |
2.4.17 |
2.4.19 |
2.4.2 |
2.4.4 |
2.4.6 |
2.4.8 |
2.4.10 |
2.4.12 |
2.4.14 |
2.4.16 |
2.4.18 |
2.4.20 |
7 Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння, згідно варіанту:
2.4.1 |
2.4.2 |
2.4.3 |
2.4.4 |
2.4.5 |
2.4.6 |
2.4.7 |
2.4.8 |
2.4.9 |
2.4.10 |
2.4.11 |
2.4.12 |
2.4.13 |
2.4.14 |
2.4.15 |
2.4.16 |
2.4.17 |
2.4.18 |
2.4.19 |
2.4.20 |
2.5 Приклади виконання задач самостійної роботи №2
Приклад 2.5.1 Знайти загальний розв’язок рівняння
Розв’язок: Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені: , , . Оскільки вони дійсні та різні, то загальний розв’язок має вигляд .
Приклад 2.5.2 Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язок: Характеристичне рівняння має вигляд . Звідки , . Корені дійсні, один з них двократний. Загальний розв’язок має вигляд .
Приклад 2.5.3 Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , , . Загальний розв’язок .
Приклад 2.5.4 Знайти загальний розв’язок рівняння
Розв’язок: Характеристичне рівняння або має корені - однократні, - пара двократних уявних коренів. Загальний розв’язок має вигляд .
Приклад 2.5.5 Знайти загальний розв’язок рівняння
Розв’язок: Характеристичне рівняння має різні корені , , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння треба шукати у вигляді , де - коефіцієнти, які треба визначити. Підставляючи вираз для в дане рівняння, отримаємо , звідки
Частинний розв’язок: .
Загальний розв’язок: .
Приклад 2.5.6 Знайти загальний розв’язок рівняння
Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , , тому загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Оскільки число 0 є двократним коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок даного рівняння треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для в дане рівняння, та прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях отримаємо .
Частинний розв’язок: .
Загальний розв’язок: .
Приклад 2.5.7 Знайти загальний розв’язок рівняння
.
Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Частинний розв’язок даного рівняння треба шукати у вигляді . Підставляючи вираз для в дане рівняння, та скорочуючи обидві частини рівняння на , отримаємо . Звідки
Частинний розв’язок: .
Загальний розв’язок: .
Приклад 2.5.7 Знайти загальний розв’язок рівняння
(2.10)
Розв’язок: Характеристичне рівняння має корені , загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння має вигляд
(2.11)
Будемо вважати в (2.11) , . Тоді
(2.12)
(2.13)
Покладемо . Про диференціюємо (2.13) по
(2.14)
Підставимо (2.14), (2.13) і (2.12) в рівняння (2.10) та після скорочення подібних членів, отримаємо систему рівнянь
(2.15)
З цієї системи визначимо та
, . Інтегруючи, знаходимо
(2.16)
(2.17)
Підставляючи (2.16) і (2.17) в рівняння (2.11), отримаємо загальний розв’язок вихідного рівняння
.