3. Основне рівняння гідростатики.

З метою приведення рівняння Ейлера до виду, зручного для інтегрування, помножимо кожне рівняння відповідно на dx, dy, dz і складемо почленно:

.

Тому, що гідростатичний тиск залежить тільки від незалежних перемінних координат x, y, z, ліва частина цього рівняння являє собою повний диференціал функції р = f(x, y, z):

Виконуючи підстановку, отримуємо остаточно

. (5)

Отримане рівняння називається основним диференціальним рівнянням гідростатики. Рівняння виражає функціональну залежність тиску від роду рідини і координат точки в просторі.

Рис. 4 Графічна ілюстрація основного рівняння гідростатики.

Розглянемо найбільш важливий для практики випадок рівноваги рідини, що знаходиться в абсолютному спокої. Припустимо, що закритий резервуар заповнений рідиною, яка знаходиться у спокої. Будемо вважати, що на поверхні рідини діє відомий нам тиск р_{0 ,} відмінний від атмосферного. Тоді проекції об'ємних сил (у даному випадку сили ваги) на вісі x і y будуть дорівнювати нулю:

X=Y=0.

Проекція сили тяжіння на вісь z буде дорівнювати Z = -g. Таким чином, основне диференціальне рівняння гідростатики для розглянутого випадку прийме наступний вигляд:

, чи .

Отримане рівняння є диференціальним рівнянням рівноваги рідини, що знаходиться під дією тільки сили тяжіння. Після інтегрування рівняння отримаємо:

.

Знайдемо постійну інтегрування. На поверхні рідини (вільній поверхні) нам відомо, що: р=р₀ і z=z₀, тобто відомі граничні умови. У такий спосіб для вільної поверхні:

.

Підставимо значення константи С і отримаємо

, чи р=р₀+ρ·g(z₀-z),

тобто величина гідростатичного тиску цілком визначається вертикальною координатою точки або глибиною її занурення під поверхнею з відомим на ній тиском.

Розглянемо в рідині вільну точку А з координатою z і глибиною занурення h. Вважаючи, що h=z₀-z, можемо написати основне рівняння гідростатики в найбільш зручній формі:

р=р₀+ρgh, (6)

де р – повний гідростатичний тиск, який дорівнює тиску на вільній поверхні р₀, який складений з так званим тиском, обумовленим вагою самої рідини.

3. Рівняння поверхні рівня.

Якщо взяти ряд точок, в котрих гідростатичний тиск однаковий, тобто виконується вимога p = f (х, y, z) = const, і провести через ці точки поверхню, то вона буде називатися поверхнею рівного тиску. Іноді такі поверхні називаються поверхнями рівня.

Для одержання рівняння поверхні рівного тиску скористаємося основним диференціальним рівнянням гідростатики. Тому що для поверхні рівного тиску p = f (x, y, z) = const, то dp=0.

Таким чином, для поверхні рівного тиску одержимо

X∙dx +Y∙dy + Z∙dz =0 . (7)

Це рівняння встановлює зв'язок між координатами поверхні рівного тиску нерухомої рідини і діючими на рідину прискореннями масових сил. Окремим випадком якого є рівняння вільної поверхні крапельної рідини.

Розглянемо кілька конкретних випадків рівноваги рідини і встановимо вид поверхні рівного тиску (у тому числі й вільної поверхні) в кожному з цих випадків.

Приклад 1. Рідина знаходиться в рівновазі в резервуарі в поле дії тільки сили тяжіння (рис. 5а). У цьому випадку проекції результуючої одиничних масових сил будуть такими: Х = 0, Y = 0, Z =-g. Підставляючи ці значення в (7), отримаємо:

- g∙dz = 0,

або після інтегрування:

dz = const.

Це рівняння горизонтальної площини. Отже, в однорідній рідині (ρ = const), яка покоїться, будь-яка горизонтальна площина є площиною рівного тиску.

Рис. 5 Випадки рівноваги рідини

Приклад 2. Рідина знаходиться в рівновазі в резервуарі, який рухається горизонтально з деяким прискоренням а (рис. 5, б). У цьому випадку будь-яка частинка рідини знаходиться під дією прискорень а та g, отже проекції результуючої одиничних масових сил будуть наступними; Х = -а, Y = 0, Z = -g. Підставляючи ці значення в (7), отримаємо:

-adx - gdz = 0,

або після інтегрування,

ax + gz = cоnst.

Це рівняння похилої площини. Отже, в даному випадку поверхні рівного тиску є площини, які похилі до осей 0х і 0z і паралельні осі 0у. Кут нахилу площини до горизонту:

β = arctg (a / g).

Приклад 3. При обертанні рідини разом із циліндричною посудиною відносно її вертикальної осі симетрії з постійною кутовою швидкістю її поверхня під впливом відцентрових сил приймає форму параболоїда обертання АВС (рис. 6), висота Н якого визначається по формулі

(8)

а об’єм параболоїда

(9)

Коли при обертанні рідини її вільна поверхня перетинає дно посудини (рис. 7), показаний об’єм рідини можна обчислювати двояко:

або (10)

Рис. 6 Рис. 7