2.3.3.3. Логарифмические частотные характеристики (лах)

АФХ несет полную информацию о свойствах системы, но построение ее графика достаточно трудоемко. Проще построить графики логарифмических частотных характеристик. ЛАХ – это совокупность логарифмических амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик, построенных с применением логарифмического масштаба по оси частот (рис. 2.2).

(2.18)

П одробно методы построения ЛАХ будут рассмотрены ниже после изучения типовых звеньев, так как в этом случае передаточную функцию W(s) представляют в виде набора типовых звеньев (см (2.16)).(

Используя графики ЛАХ, для ряда точек на оси частот определяют значения амплитуды и фазы . Далее, используя полярную систему координат, находят точки на графике АФХ. Так можно построить, хотя и приближенно, всю характеристику.

2.3.4. Временные характеристики

Выходная величина, т.е. функция полностью определяет исследуемый режим работы системы. Она зависит как от свойств самой системы, так и от вида входного воздействия. Чтобы отвлечься от влияния последнего, рассматривают реакцию системы на стандартные, пробные и входные воздействия. Эта реакция зависит только от свойств системы и рассматривается как одна из её характеристик. Для исследования динамики системы наиболее часто используется две из них.

2.3.4.1. Импульсная переходная характеристика

Импульсная переходная характеристика – это реакция системы на идеальное импульсное входное воздействие. Математической моделью его является дельта-функция . Эта функция равна нулю для всех моментов времени, кроме момента . Площадь под кривой равна единице, и поэтому амплитуда при бесконечна.

Итак,

(2.19)

Импульсная переходная характеристика используется для анализа устойчивости системы.

2.3.4.2. Переходная характеристика

Переходная характеристика – это реакция системы на функцию включения, моделью которой служит единичный скачок . Эта функция равна нулю для отрицательных моментов времени , единице для положительных моментов и не определена при .

(2.20)

Временные характеристики связаны между собой. Поскольку

(2.21)

то по одной из этих характеристик всегда можно определить другую

(2.22)

Для наглядности используют графики этих характеристик, где они изображаются обязательно в масштабе, при этом, переходная характеристика изображается на фоне единичного скачка (рис. 2.3).

2.3.5. Методы определения временных характеристик

2.3.5.1. Классический метод

Метод основан на непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений.

Для определения импульсной переходной характеристики интегрируют уравнение (2.11) после подстановки в него входного воздействия и его производных. Линейные системы всегда имеют нулевые начальные условия, т.е. при входное воздействие отсутствует и выходная величина и ее n-1 производных равны нулю. Дельта-функция на входе и ее производная приводят при к скачкообразному изменению начальных условий, а далее их действия прекращаются и правая часть уравнения (2.11) в этих условиях становится равной нулю. Поэтому рассматривают начальные условия для моментов времени , сколь угодно приближающихся к нулю слева, и – справа от нуля.

(2.23,2.24)

При не все составляющие вектора начальных условий должны быть равны нулю.

Величина скачка вектора зависит только от параметров системы. В первую очередь – от соотношений между величинами порядков n и m, во вторую – от коэффициентов и уравнения (2.11). Формулы для вычисления составляющих вектора можно найти в литературе (например, в )

Таким образом, импульсная переходная характеристика определяется интегрированием линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

(2.25)

с начальными условиями (2.24).

Общее решение уравнения (2.25) имеет вид

(2.26)

где - постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.24), s_i – корни характеристического уравнения системы (2.15).

Характер изменения функции зависит исключительно от характера корней s_i. Подробный анализ решения уравнения (2.25) будет проведен при изучении устойчивости САУ.

Дифференциальное уравнение для переходной характеристики получается подстановкой функции и ее производных в уравнение (2.11) и интегрированием его при . И в этом случае при происходит скачок начальных условий, т.е.

(2.27,2.28)

Формулы для вычисления можно найти в литературе, например, в .

Итак, для положительных моментов времени для переходной характеристики справедливо линейное неоднородное (с правой частью) дифференциальное уравнение n-го порядка

(2.29)

Общее решение

(2.30)

где – постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями (2.27), – корни характеристического уравнения (2.26), – частное решение уравнения (2.28), определяемое видом его правой части.