2.6.4. Критерий Найквиста

Частотный критерий, тесно связанный с критерием Михайлова. Эго существенное преимущество в том, что его применение позволяет по характеристикам системы в разомкнутом состоянии судить не только об устойчивости, но и о качестве, системы в замкнутом состоянии.

2.6.4.1.Общий случай критерия Найквиста

Задана система с единичной отрицательной обратной связью (см. рис. 2.15) передаточной функцией в разомкнутом состоянии . Приравняв нулю полином знаменателя, получим характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии. Пусть в общем случае l_c корней этого уравнения неустойчивы, а n - l_c – устойчивы. Тогда в соответствии с критерием Михайлова изменение фазы вектора C(jω) равно

.

Система в замкнутом состоянии должна быть устойчивой, следовательно, должны быть устойчивыми все корни характеристического уравнения системы в замкнутом состоянии A(s) = 0 и изменение фазы вектора A(jω) равно

.

Вводится вспомогательная переменная F(s). В соответствии с формулой (2.61), она равна отношению характеристических полиномов системы в замкнутом и разомкнутом состояниях

F(s) = 1 + W(s) = 1 + = . (2.70)

Применение критерия Михайлова позволяет определить изменение фазы вектора F(jω)

.

Таким образом,

• для того, чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой, необходимо, чтобы

,

• система в замкнутом состоянии неустойчива, если

.

Пример 2.1

Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии (см. рис. 2.15) имеет вид.

. (2.74)

Требуется определить, устойчива ли система в замкнутом состоянии.

Для решения этого вопроса следует применить критерий Найквиста в следующей последовательности:

1. Определить число неустойчивых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии.

Приравниванием нулю знаменателя передаточной функции (2.73), получаем характеристическое уравнение системы в разомкнутом состоянии и его корни

C(s) = s(1 - sT); s₁ = 0, s₂ = 1/T.

Первый корень s₁, соответствующий интегрирующему звену, является нулевым, второй – неустойчивый s₂ > 0.

Как отмечалось в разделе 2.4.6, нулевой корень s = 0 интегрирующего звена считают условно устойчивым. Таким образом, число неустойчивых корней системы в разомкнутом состоянии l_c = 1.

2. Найти требуемое значение вспомогательного вектора F(jω).

В соответствии с соотношением (2.71) .

3. Построить АФХ системы в разомкнутом состоянии.

Комплексный коэффициент передачи системы в разомкнутом состоянии согласно (2.74) имеет вид

.

В таблице 1 отражена зависимость от частоты ω значений вещественной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи, а на рис. 2.25 изображен график АФХ, построенный по этим данным, дополненный дугой бесконечно большого радиуса поскольку передаточная функция (2.74) содержит интегрирующее звено.

Таблица 2.1

ω
0	kT	–∞
∞	+0	-0

Определение действительного значения изменения фазы вектора F(jω).

Ф аза вектора F(jω), проведенного из точки (-1, 0), при изменении частоты ω от 0 до ∞ сначала уменьшается до значения, близкого -90°,а потом увеличивается до нуля. Таким образом, .

4. Заключение об устойчивости.

Поскольку в рассматриваемом случае , то согласно условию (2.73) система в замкнутом состоянии неустойчива.

Пример 2.2

На устойчивость исследуется система, передаточная функция которой отличается знаком «-».

. (2.75)

П оэтому по прежнему , но АФХ данной системы повернута на 180° по сравнению с АФХ примера 1 (см. рис. 2.26). При изменении частоты ω от 0 до ∞ вектор F(jω) поворачивается по часовой стрелке на угол, равный 180°. Следовательно, и . Согласно условию (2.73) система в замкнутом состоянии неустойчива.