Теоретичні відомості

1. Особливості квантового опису руху електрона в періодичному полі кристала.

Квантова теорія вільних електронів добре пояснює основні властивості металів. Але: ця модель не може пояснити поділ кристалів на метали, напівпровідники і діелектрики, належність електропровідності напівпровідників та діелектриків від температури, властивості контактів: напівпровідник-метал, напівпровідник-діелектрик, напівпровідник-напівпровідник і ін. Все це пояснює зонна теорія твердих тіл, в основі якої лежить квантова механіка.

Кристал – це система з атомів і електронів у ньому. Для цієї системи стаціонарне рівняння Шредінгера має вигляд:

де

де – маса електрона, – маса ядра, – сумарна енергія взаємодії між електронами, електронами і ядрами, ядер з ядрами.

Задача зводиться до визначення хвильової функції , що визначає всі властивості кристалу, спектр власних значень оператора Гамільтона залежить від взаємної віддалі між ядрами, коли , то система утворює стійкій стан – кристал.

Але розв’язати рівняння для кристалу, навіть коли ядра утворюють строго періодичну решітку та й нерухомі, неможливо внаслідок того, що змінних в рівнянні . Тому для розв’язування питання про фізичні властивості твердого тіла користуються рядом наближень і спрощень.

2. Адіабатичне наближення.

Поняття адіабатичного наближення у фізиці використовується у тому випадку, коли дозволяється приписати кристалу потенціальну енергію, що визначається лише координатами ядер. У нашому випадку можна стверджувати, що кристали складається з важких ядер і легких електронів , а тому . За час, поки електрони пройдуть значний шлях, положення ядер практично не змінюється, а тому під час розв’язку задачі можна прийняти, що ядра практично нерухомі. Їх зручно вважати фіксованими у вузлах решітки, де вони знаходяться при . Тому в операторі Гамільтона для кристала другий доданок можна прирівняти до нуля. Точність адіабатичного наближення досить висока , але таке питання як опір електричному струмові залишається не розглянутим. Тоді хвильова функція кристалу

,

де – хвильова функція системи без урахування коливань ( входять як параметри),

– хвильова функція, що описує коливання ядер навколо положення рівноваги (ядро можна описати як осцилятор певного типу).

3. Одноелектронне наближення (метод Хартрі-Фока)

Одноелектронне наближення – це фундаментальний метод теорії твердого тіла. У ньому енергія попарної взаємодії електронів запишеться так:

,

де – енергія взаємодії електрона з полем всіх останніх електронів.

Це поле називають самоузгодженим полем. Воно одержується внаслідок усереднення дії всіх інших електронів на даний (розробили цей метод А.Р.Хартрі, США, 1928 р., В.О.Фок, СРСР, 1930 р.)

За допомогою цього поля система взаємодіючих частинок замінюється системою не взаємодіючих частинок, внаслідок чого багато електронна задача зводиться до одно електронної. Тоді рівняння Шредінгера для атома розщеплюється на рівнянь для одного електрона, яке має вигляд:

,

де – енергія к-ого електрона в полі нерухомого ядра.

Поле складним чином залежить від хвильових функцій всіх інших електронів. Тому рівняння залишається дуже складним.

Схема обчислення стану атома наступна:

1. Обчислюють на основі хвильових функцій нульового наближення, обраних інтуїтивно.

2. З основного рівняння для одного електрона визначаються хвильові функції в першому наближенні.

3. Обчислюють вже біль точне значення на основі функцій в першому наближенні, а потім шукають хвильові функції в другому наближенні і ін.

Процедуру продовжують до того часу, поки .