4. Рух електрона в кристалі на прикладі лінійної моделі решітки (моделі Кроніга-Пенні):

Постановка задачі. Розв’язок диференціального рівня поставленої задачі.

Розглянемо деякі особливості руху електрона в кристалі на прикладі лінійної моделі решітки – моделі Кроніна-Пені, в котрій є періодичною функцією з періодом , тобто .

Ця модель – досить штучна, але задача в ній має точний роз зв’язок. Тоді рівняння Шредінгера:

Розв’язки цього рівняння будуть мати вигляд:

,

де – періодична функція з періодом ;

– описує плоску хвилю, яка модулюється періодичним полем решітки.

У загальному випадку описує рух електрона в періодичному полі довільної форми, це так звана функція Блоха.

Отже, електрон в решітці описується плоскою хвилею, але амплітуда цієї хвилі є періодична функція. Це приводить до того, що формально маса електрона стає відмінною від маси вільного електрона (ця ефективна маса може бути як більшою так і меншою від нуля).

Крім того, енергетичний спектр електрона буде також відрізнятись від енергетичного спектра вільного (не неперервний). Дійсно:

; ;

Отже, підставляючи отриманий загальний розв’язок і його похідні в рівняння Шредінгера, маємо:

;

.

1) В області , загальний розв’язок цього рівняння має вигляд:

.

Якщо ввести позначення ,

тоді:

.

Складемо для нього характеристичне:

,

його корені:

.

Тому:

.

2) В області . Будемо вважати, що , а тому позначимо:

,

тоді:

його корені:

.

Тому:

.

Врахування властивостей хвильових функцій та інтегральне тригонометричне рівняння для їх опису.

Тепер визначимо коефіцієнти з умов зшивання хвильових функцій (хвильові функції та їх похідні неперервні та періодичні).

Виконуємо і одержуємо:

Для визначення ми одержали систему чотирьох однорідних лінійних рівнянь, вона сумісна, коли детермінант цієї системи рівний нулеві. Тоді одержуємо:

.

Це трансцендентне рівняння необхідно розв’язати і знайти значення – дозволені енергорівні. Але це трансцендентне рівняння складне і його спрощують.

Для цього поступають так:

1. Потенціал перетворюють так, що поле уявляє з себе дуже вузькі, але високі бар’єри: .

2. Ці ∞ - подібні бар’єри будуть фізично еквівалентними бар’єрами скінченої висоти і ширини, якщо їх коефіцієнти прозорості (проникності) залишаються незмінними. Отже, величина повинна при цьому не зміниться. Отже:

Тоді наше рівняння набуває такого вигляду:

Хвильові функції будуть описувати стан електрона в кристалі лише для тих значень , які є розв’язками цього рівняння. Звідси і визначають дозволені значення (а отже і енергії) в одновимірній решітці.

Відшукання енергетичного спектру. Аналіз розв’язку.

Рівняння:

можна розв’язати, в тому числі і графічно.

Позначимо за . За вісь абсцис оберемо – .

Побудуємо графік , якщо , тоді може набувати значень від-1 до +1, то коренями цього розв’язку будуть дійсні числа, коли не виходить за межі цього інтервалу (на малюнку показано ці інтервали жирними лініями). Вони і визначають допустимі значення енергії, бо

Таким чином, ми одержали ряд допустимих значень енергії електрона в полі Кроніга-Пенні.

Проаналізуємо розв’язок: область енергії розділяється на ряд дозволених областей і заборонених областей для енергії – дозволені зони і заборонені зони енергії. Зі збільшенням енергії (при рості β) дозволені зони розширюються, а заборонені зони – звужуються, а при дуже високих енергіях заборонені зони зникають і спектр енергій стає суцільним, а не дискретним.

Оскільки – функція парна, тому енергія Е є теж парною функцією хвильового числа , тобто . Крім того, рівняння для визначення також не зміниться, якщо замінити на де А тому енергія є також періодичною функцією : . Отже, всі особливості енергетичного спектра електрона проявляються в інтервалі, що обмежується нерівністю: , де – період одновимірної решітки.

Границі зон визначаються , де – ціле число. При функція має розрив.

Дійсно, якщо розглянути нерелятивістський випадок, тоді , а , тоді , тобто є квантовою функцією хвильового вектора електрона ( має дійсні значення).

Якщо ж врахувати властивості електронів у періодичному полі решітки, то виявляється, то одним значенням відповідають дійсні , а іншим – уявні .

Якщо – дійсне, то розв’язок рівняння Шредінгера має вигляд плоскої хвилі де Бройля, що модульована з періодом решітки. Ця хвиля поширюється по всьому кристалу без затухання, а тому імовірність місцезнаходження електрона однакова в кожній одиничній комірці кристалу. Електрони, що описуються функцією Блоха, мають енергію, що лежить в одній з дозволених зон.

Для уявних функція Блоха не годиться і для одного з напрямків буде спадати, а для протилежного . Отже, електрон для якого уявне, не може вільно переміщуватись по кристалу і відповідні інтервали енергії – це енергетичні щілини чи заборонені зони.

З точки зору фізичної картини поява забороненої зони обумовлена тим, що якраз при наступає відбивання хвилі де Бройля (брегівське відбивання), а тому хвиля далі не проникає і електрони в забороненій зоні не можуть знаходитись.

Коли ізольований атом мав не вироджені рівні для електронів, то система з атомів, розміщених на досить великих віддалях один від одного, буде – кратно вироджена (згідно принципу тотожності).

В кристалах внаслідок взаємодії електронів різних атомів виродження знімається і замість – кратного виродження енергетичного рівня одержується система близько розташованих підрівнів, які утворюють зону дозволених