Решение:

Аналогично

Пример 4.1.3: Пусть и - положительные целые. Выразить в терминах . Найти когда . Решение: .

Следовательно, и .

§4.2 Ренты, выплачиваемые p раз: текущие стоимости и накопления.

Если и - положительные целые, - стоимость в момент 0 ренты, выплачиваемой раз по ставке 1 в единицу времени на временном интервале [0; ]. Для этой ренты платежи делаются в моменты времени , и сумма каждого платежа составляет .

По определению, ряд из выплат, каждая по , в пределах подинтервалов из любого единичного интервала имеют ту же стоимость, что и единственная выплата суммы в конце единичного интервала. По пропорции, выплат, каждая суммой в пределах подинтервалов имеет ту же стоимость, что и единственная выплата суммы в конце интервала.

Рассмотрим ренту, для которой текущая стоимость составляет .

Замечания предыдущего параграфа показывают, что выплат после момента и не позже момента имеют ту же стоимость, что и выплата единственной суммы в момент . Это верно для потому как рента имеет ту же стоимость, как и ряд из выплат, каждая размером в моменты 1, 2, … , . Это означает, что

. (1)

Альтернативно, из первых принципов мы должны записать

, (2)

что подтверждает (4.2.1).

Аналогично мы определим текущую стоимость annuity-due, выплачиваемую раз по ставке 1 в единицу времени на временном интервале [0; ]. Платежи по ренте, каждый по , делаются в моменты . Аналогично предыдущим рассуждениям:

. (3)

Из первых принципов имеем

. (4)

Заметим, что

.

Комбинируя (4.2.1) и (4.2.3), получаем:

. (5)

Так как , то из (4.2.2) и (4.2.4) следует:

.

Подобным образом определяем и - накопления, соответствующие и .

(6)

(7)

Выше приведённые пропорции могут быть применены и к другим рядам. Пусть, например, рента выплачивается ежегодно в течение лет, платеж за год составляет . Текущая стоимость этой ренты

. (8)

Рассмотрим другую ренту, также выплачиваемую лет с платежом в год , но платежи делаются раз в год. Если через обозначить текущую стоимость этой ренты, заменяя выплат для года (каждая по ) единственной эквивалентной выплатой в конце года размером , получим

,

где - определяется (4.2.8).

Рента, выплачиваемая раз в интервале, для которой платежи продолжаются бесконечно, называется вечно выплачиваемой раз. Когда ставка постоянна и равна 1 за единицу времени, то эта величина обозначается . Если платежи делаются авансом, то мы имеем perpetuity-due .

(9)

Если в (4.2.2) и (4.2.4) получаем ( ):

(10)

. (11)

Текущая стоимость, отложенная на временных единиц

(12)

Заметим, что если , то соответственно равны .

§4.3 Ренты, выплачиваемые на интервалах времени r, где r>1.

Предположим, что и - целые числа большие 1, и рассмотрим ряд выплат, каждая по , в моменты . Определим, какова стоимость этого ряда выплат в момент 0 при процентной ставке в единицу времени.

Ситуация иллюстрируется рисунком:

Заменим платёж в момент рядом из платежей, каждый размером , в моменты , где выбирается так, чтобы сделать стоимость этих выплат равной стоимости единственного платежа .

Это означает, что

или

. (1)

Аналогично и далее. Тогда исходный ряд выплат в е моменты времени по каждая имеет ту же величину, что и ряд выплат по в единичный временной интервал. Следовательно, стоимость ренты составляет:

. (2)

Пример 4.3.1: Инвестор желает купить ренту в £120 в год, выплачиваемую поквартально в течение 5 лет. Найти цену покупки, если ставка процента 12% в год

а) эффективная;

б) конвертируемая раз в полгода;

в) конвертируемая поквартально;

г) конвертируемая ежемесячно.

Решение:

а) Стоимость

;

б) Так как ставка процента – номинальная, конвертируется раз в полгода, то мы имеем полгода в качестве единицы времени и 6% - ставка процента. Рента, выплачиваемая дважды за полгода для 10 полугодов по ставке £60 за полгода. Следовательно

;

в) ;

г) .

Пример 4.3.2: На основе эффективной процентной ставки , строительное общество делает заём, который выплачивается равными частями в конце года. Для любого размера займа и срока выплаты строительное общество просит такую же годовую выплату, что и , но требует, чтобы выплаты делались кратно по факту ( ). Показать, что какой бы срок выплат не был, эффективная процентная ставка за год, получаемая больше чем

.

В частном случае, когда и , найти эффективную процентную ставку за год на заём общества , когда срок

а) 10 лет;

б) 25 лет.

Решение: Пусть срок займа лет и возвращаемая сумма . Ежегодная выплата для каждого общества , следовательно, эффективная процентная ставка за год на заём общества есть , где

или , что определяет .

Левая часть этого уравнения – монотонно убывающая функция . Поэтому для того, чтобы показать, что его корень больше , достаточно показать, что когда , то левая часть уравнения больше правой. Заметим, что

.

Следовательно

,

так как . , что и требовалось доказать. Таким образом, .

В частности это показывает, что если и , то эффективная процентная ставка за год на заём общества всегда больше, чем 8,3%.