- •Актуарная математика. Глава №2. Теория процентных ставок.
- •§2.1 Ставка процента.
- •§2.2 Номинальная процентная ставка.
- •§2.3 Факторы накопления.
- •§2.4 Интенсивность процента.
- •§2.5 Текущая стоимость (настоящая стоимость).
- •Решение: Для величину можно определить как , а для . Это даёт
- •§2.6 Формула Студли для интенсивности процента.
- •§2.7 Текущие стоимости потоков наличности.
- •Дискретные потоки наличности.
- •Непрерывно выплачиваемые потоки наличности.
- •Пример 2.7.1: Пусть время измеряется в годах и
- •§2.8 Оцениваемые(valuing) потоки наличности.
- •§2.9 Процентный доход.
- •§2.10 Капитальные прибыли и убытки, налоги.
- •Глава №3.
- •§3.1 Основные функции сложных процентов.
- •§3.2 Уравнение стоимости и доход от сделки.
- •§3.3 Ренты: текущие стоимости и накопления.
- •§3.4 Отсроченные ренты.
- •§3.5 Непрерывно выплачиваемые ренты.
- •§3.6 Изменяющиеся ренты.
- •§3.7 Общая схема заёма.
- •§3.8 Схема заёма для level ренты.
- •Глава №4. Номинальные ставки процента. Ренты, выплачиваемые p раз.
- •§4.1 Процент, выплачиваемый p раз.
- •Решение:
- •Пример 4.1.3: Пусть и - положительные целые. Выразить в терминах . Найти когда . Решение: .
- •§4.2 Ренты, выплачиваемые p раз: текущие стоимости и накопления.
- •Глава №5. Дисконтированный поток наличности.
- •§5.1 Чистые потоки наличности.
- •§5.2 Чистые текущие стоимости и доходы.
- •§5.3 Сравнение двух инвестиционных проектов.
- •§5.4 Различные процентные ставки для заёмщиков и аккредиторов.
- •§5.5 Потоки инфляции.
- •§5.6 Доход фонда.
- •§5.7 Измерение инвестиционного performance.
§3.3 Ренты: текущие стоимости и накопления.
Рассмотрим ряд из платежей, каждый размером 1, которые должны быть сделаны через интервалы 1, платёж совершается в момент .
Стоимость этого ряда выплат в момент времени 0 называется настоящей (текущей) стоимостью и обозначается . Ясно, что если , то , иначе
(1)
Если , то . В рассмотренном случае первая выплата делается через 1 единицу времени от исходного момента 0, выплаты такого рода будем называть выплатами просрочкой.
Если же выплаты производятся в начале временных интервалов, то есть 1-я в момент и так далее, последняя в момент , то настоящая стоимость такого ряда выплат обозначается . Если , то , иначе
. (2)
Таким образом - стоимость в начале данного периода длины ряда из выплат, каждая по 1, которые делаются авансом на единичных интервалах на протяжении всего периода.
Из определения следует:
. (3)
Если выплаты производятся просрочкой, то стоимость ряда выплат на момент последней выплаты (в момент времени ) обозначается , если выплаты производились авансом, то их стоимость в момент обозначается .
Если , то , иначе
(4)
и
. (5)
Иногда и называются накоплением или накопленной суммой. Если , то и полагаются равными 0.
Из определения:
. (6)
Уравнения (3.3.1), (3.3.2), (3.3.4), (3.3.5) могут быть записаны в виде:
(7)
соответственно. (Первое уравнение представляет собой уравнение стоимости в момент на заём единичной суммы на период от 0 до , когда процент выплачивается в начале интервалов.) Для фиксированной величины - убывающие по функции, а - возрастающие по .
Для фиксированной ставки процента - возрастающие по функции. Когда , то рента называется пожизненной(вечной). Таким образом, если
(8)
(9)
Пример 3.3.1: Заём £2400 должен быть возвращён 20 равными ежегодными частями. Ставка процента на сделку 10% ежегодно. Найти сумму каждого ежегодного платежа, предполагая, что платежи делаются:
а) просрочкой;
б) авансом.
Решение:
а) Пусть ежегодный платёж составляет £ X. Тогда:
б) Пусть ежегодный платёж составляет £ Y. Тогда:
§3.4 Отсроченные ренты.
Предположим, что . Стоимость в момент ряда из выплат, каждая по 1, выплачиваемых в моменты обозначается . Иллюстрация этого случая:
Такие серии выплат могут рассматриваться как срочная рента, отложенная на временных единиц.
Когда
. (1)
(2)
(3)
. (4)
Формула (3.4.1) может быть использована для любых , не только целых. В этом случае уравнение (3.4.3) будет тем же, но (3.4.2) и (3.4.4) – нет.
(5)
§3.5 Непрерывно выплачиваемые ренты.
Пусть . Стоимость в момент 0 ренты, которая может быть выплачена непрерывно между 0 и , где ставка (норма) выплат на единицу времени постоянна, обозначается .
, где (1)
Если , то .
Если , то для текущей стоимости непрерывно выплачиваемой ренты по 1 в единичный интервал времени на протяжении временных единиц и отложенной на временных единиц используется обозначение . Таким образом:
Следовательно
(2)
(3)
Уравнение (3.5.1) может быть записано в виде
.
Если целое, то