§3.8 Схема заёма для level ренты.

Рассмотрим особый случай, когда на базе процентной ставки сумма займа делается в момент 0 при условии возвращения в выплатах, каждая размером 1, которые должны быть сделаны в моменты . Одалживатель может сконструировать схему, показывая деление каждой выплаты на капитал и проценты.

Сразу после й выплаты остаётся неуплаченных выплат, и уравнение (3.7.5) показывает, что неуплаченный заём – просто . Таким образом

. (1)

Тогда

. (2)

Схема одалживателя может быть представлена в форме таблицы (3.8.1). Более общё, если сумма одалживается при условии возврата в выплат, каждая размером (???).

Таблица 1.

№ выплаты	процент	Capital repaid	заём, неуплаченный после выплаты
1
2
. . .
t
. . .
n-1
n

Если , то

(5)

(6)

Заметим, что . Полезны таблицы для . Вставка.

Обычно на и ссылаются как на номинальные ставки процента и дисконта, конвертируемые раз. Например, если мы говорим о ежегодной конвертируемой поквартально ставке процента 12%, то мы имеем . Так как , то . Таким образом, эквивалентная ежегодная эффективная ставка процента составляет 12,5509%. Когда процентные ставки выражаются в номинальных терминах, эквивалентную ежегодную ставку называют эффективной ставкой. Таким образом, если номинальная процентная ставка, конвертирующаяся поквартально составляет 12%, то эффективная ежегодная ставка составляет 12,5509%.

На основе номинальной процентной ставки 12% ежегодно конвертируемой поквартально текущая стоимость 1 через лет составляет

Таким образом, если мы возьмём квартал в качестве единицы времени и используем 3% как эффективную процентную ставку, мы правильно оценим будущие выплаты.

Общее правило для номинальных ставок очень просто. Выбираем за единицу времени период соответствующий частоте, с которой конвертируется номинальная процентная ставка и используем как эффективную процентную ставку за единицу времени. Например, если мы имеем номинальную процентную ставку 18%, конвертируемую ежемесячно, мы должны взять 1 месяц за единицу времени и 1,5% как эффективную процентную ставку за единицу времени.

Глава №4. Номинальные ставки процента. Ренты, выплачиваемые p раз.

§4.1 Процент, выплачиваемый p раз.

Предположим, что интенсивность процента за единицу времени постоянна и равна . Пусть и - ставка процента и дисконта соответственно.

В главе 3 мы показали, что выплачивается в момент 0, - в момент 1 и выплачивается непрерывно в интервале по постоянной ставке, и все они имеют одну и ту же стоимость. Каждый из этих платежей может рассматриваться как процент за период , выплачиваемый на заём 1, сделанный в момент 0.

Предположим, однако, что занимающий, одолживший 1 в момент 0 для выплаты в момент 1, желает платить процент по своему займу в платежей в интервале. Определим - процент, выплачиваемый раз в конце подинтервалов ; - в начале подинтервалов .

Мы можем выразить в терминах . Так как каждая процентная выплата равна , то

. (1)

Если , то

.

Следовательно

и (2)

. (3)

Уравнения (4.1.2) и (4.1.3) наиболее важны. Любые из уравнений может быть рассмотрено как определение . Аналогично

. (4)

Для интенсивности за единицу времени следующие 5 рядов выплат на временном интервале [0;1] имеют одну и ту же стоимость.

Заметим, что и задаются непосредственно в терминах интенсивности процента :

(7)

Так как , то из (4.1.7) следует

. (8)

Легко установить, что , а . Следовательно, убывает при возрастании , а возрастает при возрастании .

Пример 4.1.4: Покажем, что если мало, то

.