9.1.3. Основные свойства преобразования Лапласа
1. При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение:
2. Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций:
|
(9.3) |
Доказательство выражения (9.3) вытекает непосредственно из свойств определённого интеграла
.
3. Изображение производной.
Пусть дана некоторая функция
и известно её изображение F(p).
Тогда изображение Ф(p) производной
этой функции
:
.
Интегрируя по частям при
и
(
;
)
и используя условие существования
интеграла Лапласа:
,
получаем
.
Итак, изображение производной имеет вид
|
(9.4) |
где
– значение функции
при
.
Согласно (9.4) вычисление изображения
производной функции при нулевых начальных
условиях (
)
соответствует умножению изображения
функции на оператор
.
Используя формулу (9.4), можно найти изображение второй производной оригинала:
или
Повторяя эти вычисления
раз, получим изображение производной
оригинала
го порядка:
|
(9.5) |
где
.
В выражении (9.5)
и все её производные до
включительно непрерывны.
Если начальные значения функции и всех её производных равны нулю, то изображение производных, определяемых уравнением (9.5), упрощается и находится по изображению исходной функции простым умножением на оператор в степени, соответствующей порядку производной:
4. Изображение интеграла.
Пусть дана некоторая
функция
и известно её изображение
.
Необходимо найти изображение
интеграла от этой функции
Так как
и
=0,
то
Учитывая, что изображение функции
равно
получаем
Таким образом, окончательно имеем:
|
(9.6) |
Согласно (9.6) интегрированию функции в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на оператор p. При многократном интегрировании в пределах от 0 до t можно получить общее выражение:
|
(9.7) |
где n – любое целое число.
Приведём также некоторые теоремы, которые могут быть использованы при расчётах электротехнических задач.
5. Теорема подобия.
Изменение масштаба независимого переменного осуществляется согласно выражению
6. Теорема запаздывания.
Смещение в области действительного
переменного на время
равносильно умножению изображения на
:
.
7. Теорема смещения.
Смещение в области комплексной переменной
p на величину
равносильно умножению оригинала на
показательную функцию
:
.
8. Теорема свертывания.
Теорема свертывания в области действительной переменной име-
ет вид:
Умножение в области действительного переменного соответствует свёртыванию в области комплексного переменного (следствие теоремы свёртывания)
.
9.2. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме
9.2.1. Закон Ома
Рассмотрим процесс подключения последовательной цепи из иде-
|
альных элементов R, L, C к
источнику напряжения (рис. 9.1). Будем
предполагать, что конденсатор был
предварительно заряжен до напряжения
По второму закону Кирхгофа для данной цепи |
|
Рис. 9.1 |
||
|
(9.8) |
|
.
Величины, входящие в уравнение (9.8) имеют изображения:
;
;
.
Используя свойство (9.3) преобразования Лапласа запишем уравнение (9.8) в операторной форме:
Откуда
|
(9.9) |
Выражение (9.9) является законом Ома в операторной форме. В выражении (9.9):
– операторное сопротивление;
– э.д.с. начальных условий;
– суммарная э.д.с. ветви.
Операторное сопротивление
имеет такую же структуру как и комплексное
сопротивление
,
только вместо
стоит оператор
.
Выражение (9.9) отличается от закона Ома
в комплексной форме только тем, что в
числителе, помимо э.д.с., включённой в
ветвь, стоят ещё э.д.с.
и
,
которые называют э.д.с. начальных условий.
Эти э.д.с. учитывают, что в момент
коммутации (при
)
магнитное поле катушки и электрическое
поле конденсатора обладали определённым
запасом энергии. Переходный процесс
будет определяться этим запасом энергии.
Таким образом,
начальные условия учитываются
непосредственно в уравнениях цепи в
виде э.д.с.
и
.
В этом заключается преимущество
операторного метода перед классическим.
При нулевых начальных условиях закон Ома в операторной форме имеет совершенно ту же структуру, что и в комплексной форме:
