9.2.2. Первый закон Кирхгофа

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов в ветвях, связанных в один узел, равна нулю:

Пусть изображение каждого из токов по Лапласу имеет вид Тогда для получения записи закона Кирхгофа в операторной форме достаточно воспользоваться свойством (9.3) преобразования Лапласа, что дает:

(9.10)

Уравнение (9.10) выражает первый закон Кирхгофа, записанный в операторной форме: алгебраическая сумма изображений токов в ветвях, сходящихся в один узел, равна нулю.

9.2.3. Второй закон Кирхгофа

По второму закону Кирхгофа в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме э.д.с.:

Пусть в некоторой электрической цепи выбран контур из ветвей. В общем случае каждая ветвь содержит идеальные элементы и источник э.д.с. . Составим для выбранного контура по второму закону Кирхгофа уравнение для мгновенных значений:

Полагая и повторяя все рассуждения, которые были проведены при записи закона Ома в операторной форме, получим второй закон Кирхгофа в операторной форме:

(9.11)

где – операторное сопротивление ветви. Обозначим тогда уравнение (9.11) примет вид

(9.12)

где – суммарная э.д.с. ветви, учитывающая и э.д.с. при ненулевых начальных условиях.

Уравнение (9.12) выражает второй закон Кирхгофа в операторной форме: алгебраическая сумма изображений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э.д.с. в этом контуре.

Итак, структура уравнений (9.9), (9.10), (9.12), составленных по законам Ома и Кирхгофа в операторной форме такая же, как и в символической форме для комплексов действующих значений. Следовательно, аналогичны и методы расчета.

9.3. Теорема разложения

При расчете операторным методом полученные выражения для искомых величин необходимо преобразовать в оригиналы, т.е. токи и напряжения представить в виде функций времени. Такой обратный переход можно производить различными способами:

1. с использованием таблицы преобразований;

2. с использованием обратного преобразования Лапласа (9.2);

3) с использованием теоремы разложения.

Первый способ применяется для простых цепей, когда полученное выражение совпадает с табличным. Второй способ применяется редко ввиду сложности вычисления интеграла (9.2). Наиболее часто обратный переход осуществляется третьим способом.

В большинстве случаев при расчёте переходных процессов операторным методом изображение искомой величины имеет вид правильной

рациональной дроби

(9.13)

где – постоянные коэффициенты, некоторые из которых могут быть равными нулю. Многочлены числителя и знаменателя не имеют одинаковых корней. Если они есть, то дробь может быть сокращена на общий множитель. Порядок многочлена числителя меньше порядка многочлена знаменателя, т.е.

Предположим, что многочлен знаменателя имеет простых корней . Тогда рациональная дробь может быть разложена на простые дроби:

(9.14)

где – коэффициенты разложения.

Для определения постоянных коэффициентов следует обе части равенства (9.14) умножить на

(9.15)

Так как разложение (9.15) должно быть справедливо для любых значений то, подставляя в левую и правую части равенства , получим справа коэффициент . В левой части равенства числитель и знаменатель обращается в нуль, т. к. есть корень уравнения Раскрывая эту неопределённость по правилу Лопиталя, получаем:

где производная от функции . Таким образом, коэффициент разложения

Тогда выражение (9.14) перепишется в виде

(9.16)

От изображения в виде суммы простых дробей легко перейти к оригиналу, используя соотношение из табл. 9.1:

Следовательно, искомая функция может быть представлена следующим образом:

(9.17)

Полученное равенство (9.17) называется формулой или теоремой разложения.

Если имеет один корень, равный нулю, тогда формула разложения (9.17) может быть записана иначе. В этом случае

, а

Воспользуемся формулой (9.16) и выделим отдельно слагаемое, соответствующее нулевому корню, который обозначим через . Корни функции совпадают с первыми корней многочлена , поэтому а для любого другого корня так как Тогда формула (9.17) примет вид

(9.18)

Если содержит корень кратности , то теорема разложения в виде (9.17) для определения оригинала не применима. В этом случае необходимо пользоваться следующей формулой:

(9.19)

Если в (9.13) имеются одновременно простые и кратные корни, то формулы (9.17) либо (9.18) и (9.19) применяются раздельно, соответственно для простых и кратных корней, а затем производится суммирование.