6.2. Способ Верещагина

Основным недостатком при определении перемещений с помощью интегралов Мора является необходимость составлять аналитические выражения подынтегральных функций и дальнейшего их интегрирования. Это особенно неудобно при большом количестве участков, т.к. приводит к громоздким вычислениям.

Если брус состоит из прямых участков с постоянной, в пределах каждого участка жесткостью, то операцию вычисления интегралов Мора можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках бруса всегда будут линейными.

Пусть на участке длиной нужно взять интеграл от произведения двух функций

(6.9)

при условии, что по крайне мере одна из функций — линейная. Пусть — линейная, тогда (рис.6.5).

Рис. 6.5

Тогда выражение (6.9) примет вид . Первый из интегралов представляет собой площадь ограниченную кривой , т.е. площадь криволинейной эпюры

.

Второй интеграл представляет собой статический момент этой площади относительно , т.е.

,

где — координата центра тяжести первой эпюры.

В результате получим

.

Но .

Следовательно . (6.10)

Таким образом, по способу Верещагина операция интегралов заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры взятую под центром тяжести первой. Если обе функции линейные, то операция перемножения обладает свойством коммутативности.

На первый взгляд способ Верещагина не дает существенных упрощений, т.к. его применение требует построения эпюр внутренних усилий от заданной и единичных сил и перемножения их. Однако почти все встречающиеся на практике эпюры внутренних усилий могут быть, как правило, разбиты на три простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболу (рис. 6.6).

Рис. 6.6

Глава 7. Статически неопределимые стержневые системы

7.1. Введение

Под стержневой системой в общем случае понимается любая конструкция, состоящая из элементов имеющих форму бруса. Стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. В статически определимых системах все усилия определяются только с помощью уравнений равновесия. В статически неопределимых системах для определения усилий уравнений статики недостаточно.

7.2. Классификация стержневых систем. Системы статической неопределимости

Стержневые системы можно разделить на три группы: плоские; плоскопространственные; пространственные. Рассмотрим только плоские системы. В них все стержни и внешние силы лежат в одной плоскости. К ним относятся: фермы, балки, рамы (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Ферма (рис.7.1, а) — стержневая конструкция, элементы которой работают преимущественно на продольную силу. Нагрузка прикладывается в узлах фермы. Балка — прямой брус, работающий на изгиб (рис. 7.1, б). Рама — стержневая система, элементы которой работают преимущественно на изгиб (рис. 7.1, в).

Степень статической неопределимости — число “лишних связей”, удаление которых делают систему статически определимой и геометрически (кинематически) неизменяемой. Геометрически неизменяемой называют систему, изменение формы которой происходит только в связи с деформацией ее элементов.

Известно, что положение бруса в пространстве определяется шестью независимыми координатами, т.е. брус обладает шестью степенями свободы.

На брус могут быть наложены связи, фиксирующие его положение на плоскости (рис.7.2). Если на левый конец балки наложено условие, запрещающее вертикальные перемещения (рис. 7.2, а), то в этой точке имеется одна внешняя связь. Если запрещено как вертикальное, так и горизонтальное, то наложены две связи (рис. 7.2, б). Заделка полностью фиксирует положение стержня в плоскости (рис. 7.2, в).

Рис. 7.2

Примеры определения степени статической неопределимости.

Ферма (рис.7.1,а)

,

где — степень статической неопределимости;

— число стержней, включая и опорные;

— число узлов фермы.

. Следовательно, данная ферма один раз статически неопределимая.

Балка (рис. 7.1, б)

,

где — число опорных реакций, тогда , т.е. данная балка два раза статически неопределимая.

Рама (рис. 7.1,в)

,

где — число замкнутых контуров;

— число врезанных шарниров.

Первая рама внешним образом статически неопределимая, для нее . Вторая рама имеет замкнутый контур и врезанный шарнир, для нее .