9.3. Главные оси и главные напряжения
Рассмотрим два вида напряженных состояний:
а) объемное напряженное состояние
В каждой точке тела существуют также три взаимно- перпендикулярные площадки (главные), на которых действуют только нормальные напряжения, называемые главными.
Рис. 9.4
На рис. 9.4,а элемент, вырезанный произвольными площадками, на рис. 9.4,б — главными площадками.
Предположим, что наклонная площадка является главной, тогда на ней будет действовать только нормальное напряжение (рис. 9.5).
Рис. 9.5
Проекции на координатные оси равны
(9.2)
Приравнивая 9.2 и 9.1, получим:
(9.3)
Получаем систему
трех алгебраических уравнений относительно
направляющих косинусов
.
Причем известно, что
.
Значит одновременно
не могут быть равны нулю. Поэтому система
(9.3) имеет решение отличное от нуля.
Система алгебраических уравнений имеет
решение отличное от нуля, если определитель
из ее коэффициентов равен нулю.
= 0
(9.4)
Раскрывая определитель (9.4) получим кубическое уравнение относительно
,
(9.5)
где
— коэффициенты кубического уравнения
и определяются следующими соотношениями
=
(9.6)
— называются
первым, вторым, третьим инвариантом
напряженного состояния. Решив кубическое
уравнение, получим три действительных
корня
.
После того как найдены
,
их переномеровывают согласно неравенству
.
(9.7)
б) частный случай, когда одна из площадок является главной (рис. 9.6).
Рис. 9.6
В этом случае
.
При подстановке их в определитель (9.5)
он распадается на два определителя
второго порядка и первого:
(9.8)
Последний
определитель сразу дает главный корень
.
Раскрывая второй определитель второго
порядка: имеем
или
.
Получим квадратное уравнение для нахождения остальных двух корней. Его решение имеет вид
(9.9)
Таким образом,
если одна из площадей главная, то один
корень известен
,
а два других находятся по формуле (9.9).
9.4. Круговая диаграмма напряженного состояния
При расчете на прочность деталей, работающих в условиях сложного напряженного состояния, необходимым условием является определение главных напряжений. Однако это не означает, что всегда нужно решать кубическое уравнение, т.к. в большинстве встречающихся на практике случаях одна из площадок является главной, тогда положение двух других главных площадок определяется довольно просто (Рис.9.7).
Рис. 9.7
Рассмотрим равновесия прямоугольной призмы, показанной на рис. 9.7. Составим сумму проекций сил на направления и
Откуда
(9.10)
Обозначим
(9.10а)
Уравнения (9.10) и
(9.10а) в координатах
представляют
собой уравнение окружности в параметрической
форме. Роль параметра играет угол
.
Эту окружность принято называть кругом
напряжений Мора (Рис. 9.8).
Рис. 9.8
Каждой наклонной площадке, определенной углом (рис. 9.8) на окружности соответствует некоторая точка, которую называют изображающей точкой . Координаты этой точки .