4.17.1.Дифференциальные и интегральные зависимости при изгибе

Рассмотрим произвольно нагруженную балку (рис.4.31,а), где положительное направление распределенной нагрузки q(z) совпадает с положительным направлением оси y. Для элементарного участка dz балки в пределах действия только нагрузки q учтем возникающие в сечениях внутренние силовые факторы (рис.4.31,б). В пределах малого участка dz нагрузку q можно считать равномерно распределенной, M и Q приложены в положительном направлении с учетом их изменении по длине.

Уравнения равновесия выделенной части балки имеют вид (для уравнения моментов поперечная ось x рассматривается для правого сечения)

; ; ; .

Отбрасывая во втором уравнении слагаемые второго порядка малости, получаем дифференциальные уравнения при изгибе

; ; .

Из последних соотношений путем интегрирования можно получить интегральные зависимости при изгибе

, , где Q₀ и M₀ - значения поперечной силы и изгибающего момента в начальном сечении участка.

4.17.2. Чистый изгиб.

При чистом изгибе продольные линии и ось стержня примут форму дуг окружности, а поперечные линии останутся прямыми. Поэтому при чистом изгибе справедливы следующие гипотезы:

плоские поперечные сечения останутся плоскими и после деформации (гипотеза плоских сечений),

продольные слои балки не взаимодействуют друг с другом, т.е. нормальные напряжения в продольных сечениях равны нулю.

Деформации и напряжения по ширине поперечного сечения балки постоянны.

   При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент М_х (рис.4.32,а). Так как Q_y=dM_x/dz=0, то M_x=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при нагрузке стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня.

Поскольку изгибающий момент M_х по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

.

   Рассмотрим деформацию модели стержня из материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис.4.32,б). Поперечные риски при изгибе стержня парой сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам. Это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая в теории упругости становится законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о сдавливании (растяжении) продольных волокон. При этом .

   Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования указывает на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.

     Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями . При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис.4.31,б это нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна).

Существует слой, в котором удлинения и сжатия отсутствует, его называют нейтральным слоем или нейтральной линией. Эта линия, как правило, проходит по оси стержня.