Связь напряжений и внутренних силовых факторов.

Стержень при изгибе состоит из совокупности растянутых и сжатых элементов стержней длиной l, которые свободно удлиняются и укорачиваются. (рис.4.31) Нормальные напряжения при этом остаются постоянными по площади сечения.

Статическая часть задачи.

Запишем условия равновесия:

, , , , , .

Условия , и удовлетворяются тождественно, условия , , принимают вид:

,

, .

Деформация волокон.

И з рис.4.33 видно, что относительная деформация волокон стержня определяется - относительное удлинение слоя.

Деформация некоторого слоя зависит от его координаты y, отсчитываемой от нейтрального слоя. Используя закон Гука, получаем .

Отношение - постоянно для конкретного материала и конкретного случая изгиба. Поэтому напряжение - линейная функция координаты y. Для нахождения величины нужно знать положение нейтрального слоя или радиус кривизны .

Нормальное напряжение при изгибе.

Так как то с учетом из уравнения следует - это статический момент площади поперечного сечения, т.е. нейтральная ось является центральной осью. Из уравнения получим уравнение , которое представляет собой центробежный момент инерции. Если этот момент равен 0, то оси главные, центральные. Из уравнения находим

, , , где .

Формула получена путем подстановки в выражение зависимости из формулы .

Расчетные формулы.

, где .

Условие прочности: .

Как следует из характеристики распределения, напряженные внутренние слои материала оказываются недогруженными.

Следовательно, при изгибе балки ее середина (по высоте сечений) не работает. Учитывая этот факт, для уменьшения веса конструкции, необходимо подбирать такие сечения, у которых основной материал расположен на периферии, а в середине он минимален.

На рис.4.34 показаны несколько стандартных профилей и дано соотношение их весов при одинаковых значениях W. За 1Р принят вес двутавровой балки.

Д анные, приведенные на рис.4.34 показывают, что наиболее легкой конструкцией при одинаковой прочности будет балка, выполненная из швеллера.

Например, конструкция из швеллера весит 100 кг, аналогичная конструкция, выполненная из круга, будет весить 444 кг. А это деньги и немалые, учитывая стоимость металла. Кроме того, такая конструкция из-за больших массо-габаритных параметров будет не конкурентно способной.

Рассмотрим несколько примеров расчета балок на изгиб.

Пример 1.

Нужно рассчитать опорные элементы под настил стеллажа. Расчетная схема показана на рис.4.35.

Дано:

q = 5000 Н/м; b = 0,8 м; σ_в = 370 МПа; n = 5; [σ] = σ_в/n = 370/5 = 74 МПа.

Требуется:

подобрать прямоугольную тонкостенную трубу.

Решение.

Определим реакции опор.

,

где – результирующая распределен-ной нагрузки;

Н.

Так как нагрузка симметрична относительно опор, то Н.

Проверка.

, .

Реакции найдены правильно.

Построим эпюру моментов изгибающих.

, где z – текущая координата.

Поскольку зависимость момента от z квадратичная, необходимо длину балки разбить на несколько участков, найти моменты на границах участков и построить эпюру.

.

.

.

.

.

По полученным данным построим эпюру Мизг (рис.1.18).

И з условия прочности выразим W

.

Для тонкостенной прямоугольной трубы (рис.4.36) W_х определяется по формуле.

.

Предположим, что мы хотим использовать трубу, один из наружных размеров которой равен 40мм. Имеются трубы:

1) 40х40х2; 2) 40х40х2,5; 3) 40х40х3;

4) 40х60х2; 5) 40х60х2,5; 6) 40х60х3.

Нам желательна труба с наименьшим весом.

Находим W_х для каждой из труб.

– не подходит.

– не подходит.

– подходит.

– подходит.

- подходит.

- подходит.

Сравниваем последние 4 трубы по весу. Их веса пропорциональны площадям сечений.

,

.

.

.

Следовательно, наиболее легкая труба 40х60х2, больше того она прочнее трубы 3 в 6650/5476 = 1,2 раза. Выбор ясен – принимаем трубу 40х60х2.