4.2. Операции с денежными обязательствами. Начисление простых процентов.

Процентными деньгами (процентами) называют сумму доходов предоставления денег в долг в различных формах (открытие депозитных счетов, выдача кредитов, покупка облигаций и др.). Сумма процентных денег зависит от суммы долга, срока его выплаты и процентной ставки, характеризующей интенсивность начисления процентов. Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме долга.

Увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов называют наращением (роста) первоначальной суммы долга. Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращение. Интервал времени , за который начисляют проценты, называют периодом начисления.

При использовании простых процентов сумма процентных денег в течении всего срока долга определяется исходя из первоначальной суммы долга независимо от количества периодов начисления и их длительности. Процентная ставка в этих случаях представляет собой выраженное в процентах отношение суммы процентных денег, выплачиваемых за рассматриваемый интервал времени (обычно за год), к величине первоначальной суммы долга. Следовательно, простая годовая ставка процентов определяется как :

i (%) = ,

где I_r - сумма процентных денег, выплачиваемая за год;

P - первоначальная сумма долга.

При проведении расчётов обычно используют относительное значение ставки процентов

i (%) = (1.1)

В соответствии с формулой сумма процентных денег, выплачиваемая за год, будет равна:

I_r=i P (1.2)

Если срок долга составляет n лет, общая сумма процентных денег будет равна:

I=n I_r=n i P

Пример №1

Банк принимает вклады до востребования по ставке 80% годовых. Определить сумму процентов на вклад 200 руб., размещенный на полгода.

Сумма долга с начисленными процентами будет определяться выражением:

S = P + I = P (1+ n i) (1.3)

Эта формула также может быть представлена в виде:

S = P k_H (1.4)

где k_H - множитель (коэффициент) наращения.

Пример №2

Банк принимает депозиты на 3 месяца по ставке 80% годовых, на 6 месяцев по ставке 100% годовых и на год по ставке 120 % годовых. Определить сумму, которую получит владелец депозита 150 руб. во всех трех случаях.

Если срок хранения вклада выражается в днях формулу (1.2) следует подставить выражение:

n= ,

где -- срок хранения вклада в днях; К—количество дней в году.

В банковской практике различных стран срок в днях и расчетное количество дней в году при начисление процентов определяется по—разному. В так называемой германской практике подсчет числа дней основывается на длительности года в 360 дней и месяцев в 30 дней. При французской практике длительность года принимается равной 360 дням, а количество в месяцах берется равным из фактической календарной длительности (28,29,30 и 31 день соответственно). При английской практике берутся год в 365 дней и соответствующая точная длительность месяцев.

Пример №3

Определить количество дней для определения процентов при различной практике их начисления, если вклад до востребования был размещен: а) с 20.01.08 по 15.03.08; б) с 25.06.98 по 05.09.08.

Пример №4

Вклад в размере 200 руб. был положен в банк 12. 03 08 и востребован 25. 12 08. Ставка процентов банка составляла 80% годовых. Определить сумму начисленных процентов при различных методах определения срока начисления.

Пример №5

Вклад 500 руб. был размещен в банке 11.06.98 по ставке 80% годовых. При востребовании вклада 20.09.98 вкладчику были начислены проценты в размере 110 тыс. руб. Определить, какую практику начисления процентов использовал банк.

При изменении суммы на счете общая сумма процентов за весь срок хранения вклада будет равна сумме процентов, начисленных для каждого периода начисления, на котором сумма на счете была постоянна. При практике банков для начисления процентов используется также методика расчёта с вычислением так называемых процентных чисел, определяемых выражением:

Процентное число =

При необходимости определения суммы процентов все процентные числа складываются и сумма делится на постоянный делитель, равный величине:

Постоянный делитель =

Пример №6

При открытии сберегательного счёта по ставке 120% годовых 20.05.98 на счёт была положена сумма 100 руб. Затем на счёт 05.07.98 была добавлена сумма 50 руб.; 10.09.98 со счёта была снята сумма 75 тыс. руб., а 20.11.98 счёт был закрыт. Определить общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счёта.

Из формулы (1.3) можно при прочих равных заданных условиях определить срок вклада в годах:

n = (1.8)

или срок вклада в днях:

(1.9)

Пример №9

Определить срок в годах, за который вклад 100 руб. возрастет до 300 руб. при начислении процентов по простой ставке 85% годовых.

Пример №10

Вкладчик собирается положить в банк сумму 500 руб. с целью накопления 1 тыс. руб. Ставка процентов банка равна 120% годовых. Определить срок в днях, за который вкладчик сможет накопить требуемую сумму (расчётное количество дней в году равно 365).

Из формулы (1.3) можно также определить ставку простых процентов при прочих заданных условиях:

i = (1.10)

Пример № 11

Вкладчик, решивший положить на депозит 200 руб., хочет накопить через год не менее 400 руб. Определить простую ставку процентов, на основании которой он может сделать выбор банка.

Пример №12

Вкладчик собирается положить в банк 300 руб. с тем, чтобы через 100 дней накопить 400 руб. Определить требуемую ставку процентов по вкладам при количестве дней в году равном 365.

Используя формулу для наращенной суммы (1.3), можно решать обратную задачу - определять сумму вклада при заданных значениях суммы вклада с начисленными процентами, срока вклада и ставке процентов:

P = (1.11)

Рассмотренную операцию называют дисконтированием по простой ставке процентов. Термин “дисконтирование” в широком смысле означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значению S. Подобные расчёты называют также проведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определённое дисконтированием S, называют современным, или приведённым, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в финансово-экономических расчётах фактор времени.

Выражение (1.11) можно также записать в виде:

P=Sk_д

где k_д -- коэффициент дисконтирования;

k_д=(1+ni)^-1=(1+ ^-1

Как легко видеть коэффициент дисконтирования является обратной величиной множителя (коэффициента) наращения.

Пример №13

Вкладчик собирается положить деньги в банк с целью накопления через год 500 руб. Банк начисляет проценты по ставке 25% годовых. Определить требуемую сумму вклада.

Расчеты в условиях инфляции.

При принятии решения о размещении средств в банке или финансовой компании немаловажным фактором является соотношение ставки процента и уровня инфляции, приводящей к обесцениванию денежных доходов. Расчетные формулы для учета влияния инфляции можно получить следующим образом. Уровень инфляции за некоторый период можно записать как

где S - сумма, на которую надо увеличить сумму S для сохранения ее покупательской способности.

Уровень инфляции показывает, на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период времени. В расчетных формулах обычно используют относительное значение уровня инфляции

Сумма, покупательная способность которой с учетом инфляции должна соответствовать покупательной способности суммы S, будет равна:

=S+S=S+ S=S(1+) (1.34)

Выражение (1.34) можно также записать в виде:

S=S I_и (1.35)

где I_и -- индекс инфляции, определяемый соотношением:

I_и =1+  (1.36)

Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены за рассматриваемый период. Выражение (1.36) характеризует взаимосвязь между уровнем и индексом инфляции за один и тот же период.

Если необходимо определить уровень инфляции за некоторый период (например год) на основании значений уровня инфляции _и за интервалы, меньшие этого периода (например месяцы), для первого такого интервала можно записать соотношение:

S ₁=S(1+_{и 1} ),

для следующего –

S ₂ = S ₁(1+_{и 2})=S(1+_{и 1})(1+_{и 2}) и т. д.

Индекс инфляции за рассматриваемый период будет равен:

I_и=(1+_{и 1})(1+_{и 2})(1+_{и 3}) ... (1+_{и n}) , (1.37)

где n – количество интервалов в периоде.

При равных интервалах и равных уровнях инфляции за каждый интервал формула (1.37) примет вид:

I_и =(1+_и )ⁿ . (1.38)

Уровень инфляции за рассматриваемый период в соответствии с формулой (1.36) будет равен:

=I_и -1 (1.39)

Пример №14.

Определить ожидаемый годовой уровень инфляции при уровне инфляции за месяц в 6 и 12 %.

Из формулы (1.35) следует, что сумма S, соответствующая сумме S и характеризующая реальное значение будущей суммы с учетом инфляции за рассматриваемый период, будет равна:

S=

Следовательно, значение суммы депозита с процентами, пересчитанное (приведённое) на момент его оформления с учётом уровня инфляции за период хранения, будет равно:

для ставки простых процентов

P=

для ставки сложных процентов при их начислении один раз в году

P=

при начислении сложных процентов несколько раз в году

Р=

Пример №15

Вклад в сумме 500 руб. положено в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 160% годовых. Определить реальный доход вкладчика для ожидаемого месячного уровня инфляции 10 и 15%.