4. Вероятностная модель

Изучая математику, всегда полезно помнить, что это систематизированная наука, и потому выражается в точных определениях. Именно, если в примере с киоском обычные названия заменим на специальные математические термины:

1. товар –элементарное событие w;

2. цена товара – вероятность Р(w) элементарного события w;

3. пакет, составленный из каких-то товаров – событие А, составленное из соответствующих товарам пакета элементарных событий;

4. цена пакета – вероятность события Р(А) (численно равна сумме вероятностей тех элементарных событий, из которых составлено событие);

5. киоск – множество W, составленное из всех элементарных событий (коротко: пространство элементарных событий W = {₁,..., _N }),

то получим необходимую теоретическую базу для понимания теории вероятностей – вероятностную модель.

5. Вспомогательная и Вероятностная модели экспериментов. Однократное и двукратное подбрасывания монеты

Тем самым, имеем две модели:

Вспомогательная модель «Киоск» и ,

то же самое в вероятностных терминах,

вероятностная модель.

Эти две модели применим к примерам 1 и 2: подбрасывание монеты со сторонами Г - «герб» и Р - «решетка» и бросание игральной кости с цифрами от единицы до шести, нанесенными на грани кубика и расположенными таким образом, чтобы их сумма на противоположных гранях была равна семи.

Вспомогательная модель «Киоск» однократного подбрасывания монеты. Пример 1: всевозможные результаты подбрасывания образуют товары Г и Р и киоск {Г;Р}.

Цены на товары (устанавливают произвольно): цена товара Г равна неотрицательному числу р, цена товара Р равна неотрицательному числу q. Цена всех товаров - всего киоска - равна p+q=1.

Пакеты: пустой Ø; состоит из одного Г; из одного Р; из Г и Р – весь киоск. И, как следствие, цены пакетов: пустого равна 0; из одного Г равна р; из одного Р равна q; из Г и Р – содержимое всего киоска - равна p+q=1.

То же в вероятностных терминах:

Вероятностная модель однократного подбрасывания монеты:

1. Всевозможные элементарные события ω₁=Г и ω₂=Р образуют пространство элементарных событий Ω={ω₁;ω₂}.

2. Всевозможные события: А₀= Ø, А₁={ω₁}, А₂={ω₂}, А₃={ω₁; ω₂}= Ω.

3. Вероятности: вероятности элементарных событий Р(ω₁)=Р(Г)=р и Р(ω₂)=Р(Р)=q, и, как следствие, вероятности событий Р(А₀)=0, Р(А₁) = р, Р(А₂) = q, Р(А₃) = р + q = 1.

Вспомогательная модель «Киоск» двукратного подбрасывания монеты (П р и м е р 2):

весь «киоск» состоит из 4 «товаров»: ГР, ГГ, РГ, РР с ценами – неотрицательными числами – р₁, р₂, р₃, р₄ соответственно, причем р₁ + р₂ + р₃ + р₄ = 1.

Перечислим пакеты и их цены:

пустой Ø – 0,

с одним товаром: {ГР} – р₁, {ГГ} – р₂, {РГ} – р₃, {РР} – р₄,

с двумя товарами: {ГР, ГГ} – р₁ + р₂, {ГР, РГ} – р₁ + р₃, {ГГ, РГ} – р₂ + р₃, {ГР, РР} – р₁ + р₄, {ГГ, РР} – р₂ + р₄, {РГ, РР} – р₃ + р₄;

с тремя товарами: {ГР, ГГ,РГ} – р₁+ р₂+р₃, {ГР, ГГ, РР} – р₁+ р₂+ р₄,

{ГР, РГ,РР} – р₁ + р₃+ р₄, {ГГ, РГ,РР} – р₂ + р₃ + р₄,

и, наконец, с четырьмя товарами –

весь «киоск» {ГР, ГГ, РГ, РР} – р₁ +р₂ + р ₃+ р₄ = 1.

То же в вероятностных терминах

Вероятностная модель двукратного подбрасывания монеты:

1. Пространство элементарных событий Ω – множество, составленное из всевозможных элементарных событий.

Всевозможные элементарные события ω₁=ГР, ω₂=ГГ, ω₃=РГ, ω₄= =РР образуют пространство элементарных событий Ω={ω₁,ω₂,ω₃,ω₄}. Вероятности элементарных событий: Р(ω₁)=р₁, Р(ω₂)=р₂, Р(ω₃)=р₃, Р(ω₄)=р_4.

2) Всевозможные события (подмножества пространства элементарных событий): А₀= Ø, А₁={ω₁}, А₂={ω₂}, А₃= {ω₃}, А₄={ω₄}, А₅={ω₁; ω₂},

А₆={ω₁; ω₃}, А₇={ω₁; ω₄}, А₈={ω₂; ω₃}, А₉={ω₂; ω₄}, А₁₀={ω₃; ω₄}, А₁₁={ω₁; ω₂ ;ω₃}, А₁₂={ω₁; ω₃ ;ω₄}, А₁₃={ω₁; ω₂ ;ω₄}, А₁₄={ω₂; ω₃ ;ω₄}, А₁₅={ω₁;ω₂ ;ω₃; ω₄}= Ω

3) Вероятности событий (числовые функции, аргументом которых являются события): Р(А0) = 0, Р(А1) = р1, Р(А2) = р2, Р(А3) = р3, Р(А4) = р4, Р(А5)=р1+р2, Р(А6)=р1+р3, Р(А7)=р1+р4, Р(А8)=р2+р3, Р(А9)=р2+р4, Р(А10)=р3+р4, Р(А11) = р1+ р2 +р3, Р(А12) = р1+ р2 +р4, Р(А13) = р1+ р2 +р4, Р(А14) = р2+р3 +р4, Р(А15) = р(Ω) = р1+ р2 +р3+р4.