10. Необходимые в теории вероятностей сведения из теории множеств и теории меры

По существу, исходное определение теории вероятностей - определение вероятностного пространства в случае множества с конечным числом элементов в принципе уже дано.

Формулировка аксиом А.Н. Колмогорова или, что, то же самое, вероятностного пространства, требует привлечения понятий из теории множеств и теории меры.

Пусть даны множества и .

Множество, составленное из всех элементов , принадлежащих и и , называют пересечением множеств и , и обозначают через или , их объединение - через , разность - через . Через обозначается пустое множество. Если множества и не пересекаются , то их объединение будет обозначаться также через и называться суммой.

Тем самым, операция вычитания определена без ограничений для всяких множеств и , но в случае разность носит специальное название дополнения - дополнения множества до множества .

В случае разность также называют дополнением до , и обозначают . В тех случаях, когда заранее оговорено, что рассматриваемые множества есть подмножества определенного множества для данного множества дополнение до также обозначают (от английского слова complement- дополнение).

Множество , элементами которого также являются множества, называют системой множеств.

Определение (алгебры множеств). Пусть - некоторое множество. Система А

подмножеств называется алгеброй, если

1⁰. А ,

2⁰. А А

3⁰. А А

Приведенное определение является наиболее сжатым перечислением свойств системы множеств, в развернутом виде означающих следующее:

Система А подмножеств множества называется алгеброй, если А

объединение, пересечение и разность двух множеств системы опять принадлежат этой системе.

Действительно из свойств 2⁰, 3⁰ и теоретико-множественных равенств

и

следует, что пересечение и разность множеств из А также принадлежит А.

Система множеств, составленное из всех подмножеств всякого множества , является алгеброй, поскольку множество есть подмножество самого себя и операции объединения, пересечения и вычитания, выполненные над подмножествами данного множества снова приводят к его подмножествам.

Функция, множество определения которой есть система множеств, называют функцией множеств.

Определение(конечно-аддитивной вероятности). Пусть А- алгебра подмножеств конечного множества . Функция множеств , определенная на А, принимающая значения в , называется конечно-аддитивной, если для любых двух непересекающихся множеств и из А

(1)

В случае , конечно-аддитивная функция множеств называется конечно-аддитивной вероятностной мерой, конечно- аддитивной вероятностью или, коротко, вероятностью(но в случае конечного множества ).

Теперь мы в состоянии определить вероятностное пространство.

3. Основное определение

(Система аксиом Колмогорова вероятностного пространства в случае конечного множества ). Упорядоченный набор (тройка) объектов

,

где

1⁰. - конечное множество произвольной природы;

2⁰. А- алгебра всех подмножеств ;

3⁰. -вероятность: заданная на А конечно-аддитивная неотрицательная функция множеств, такая, что ,

называется вероятностной моделью или вероятностным пространством. При этом называется пространством исходов или пространством элементарных событий, каждый элемент множества - элементарным событием, каждое множество из алгебры А- событием, а -вероятностью события .

Система аксиом I-III непротиворечива (существует хотя бы одна реализация).

Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , А- из и пустого множества , при этом положено , .

Система аксиом I-III, однако, не является полной (можно ещё добавить аксиомы так, чтобы оставалась непротиворечивой): в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства, в их числе и с бесконечным .