- •1.Предмет теории вероятностей – анализ случайных явлений: отсутствие детерминистической регулярности и наличие статистической регулярности
- •2.Теория вероятностей как аксиоматизируемая математическая дисциплина
- •2. Эксперимент (опыт, испытание, явление)и его исход (результат, наблюдение)
- •3. Вспомогательная модель. Реализация этой идеи
- •4. Вероятностная модель
- •5. Вспомогательная и Вероятностная модели экспериментов. Однократное и двукратное подбрасывания монеты
- •7. Общая схема построения конечной вероятностной модели – вероятностного пространства
- •8. Произвели эксперимент, известен исход. Произошло ли событие?
- •9. Практическое значение вероятности события
- •11. Аксиомы а.Н. Колмогорова
- •1. Элементарная теория вероятностей
- •10. Необходимые в теории вероятностей сведения из теории множеств и теории меры
- •3. Основное определение
- •12. Непосредственные следствия из аксиом
- •13. Парадокс де Мере
- •14. Применения комбинаторного анализа в теории вероятности
- •2. Основное комбинаторное правило (частный случай)
- •3. Основное комбинаторное правило (общий случай)
- •15. Постановка комбинаторной задачи
- •16. Выборка с возвращением и без возвращения
- •17. Выборки неупорядоченные и упорядоченные
- •18. Упорядоченные выборки с возвращением
- •19. Упорядоченные выборки без возвращения-размещения
- •20. Перестановки
- •21. Неупорядоченные выборки из n элементов по k без возвращения – сочетания
- •24.Употребление термина «случайный» в теории вероятностей
9. Практическое значение вероятности события
Дано событие, знаем его вероятность. Что дает нам это знание?
Ответ такой: повторяем эксперимент какое-то количество раз и следим за тем, сколько раз данное событие произошло (что это означает, мы подробно изложили в предыдущем пункте). Тогда, и в этом состоит содержание закона больших чисел, отношение числа появлений события к числу проведенных экспериментов близко к вероятности данного события, причем близость увеличивается с увеличением числа экспериментов.
Практическое подтверждение закона больших чисел дают опыты с подбрасыванием симметричной и однородной монеты.
Любая реальная монета не является абсолютно симметричной и однородной, а изготовление монеты, близкой к идеальной, требует соответственно больших усилий.
Поэтому опыты с монетами расцениваются как научный результат.
Таким образом, вероятности выпадения герба и решетки, в силу близости монеты к идеальной, принимаются равными, т. е. р =1/2 для каждой из сторон.
Закон больших чисел будет подтвержден экспериментально, если при большом числе подбрасываний доля выпадения герба (событие А заключается в выпадении герба, и его вероятность равна 1/2) близка к 1/2.
Итак, эксперимент состоит в однократном подбрасывании монеты. Последовательно проводим эксперимент, или, как выше было сказано, его реализацию: первую, вторую, … . Фиксируем событие А, в данном случае, «выпадение герба», и при каждой реализации отмечаем результат «событие А произошло» и «событие А не произошло». И, наконец, берем отношение числа результатов «событие А произошло» к числу всех реализации – в данном случае долю выпадения герба» и сравниваем с ожидаемым числом 0,5- вероятностью события А.
Теперь обратимся к самим результатам, для удобства вынесенным в таблицу:
Экспериментатор |
Число бросаний |
Число выпадений герба |
Частота выпадений герба |
Ж. Бюффон |
4040 |
2048 |
0,5069 |
К. Пирсон |
12000 |
6019 |
0,5014 |
К. Пирсон |
24000 |
12012 |
0,5005 |
Тем самым, об исходе каждого отдельного эксперимента ничего сказать нельзя – детерминистической регулярности (в этом и заключается проблематика теории вероятностей), но можно указать долю события в большом количестве экспериментов – наличие статической регулярности.
11. Аксиомы а.Н. Колмогорова
1. Элементарная теория вероятностей
Так называют ту часть теории вероятностей, в которой изучаются вероятностные пространства , где пространство элементарных событий есть множество с конечным числом элементов. Тем самым, элементарная теория вероятностей посвящена изучению математических моделей экспериментов с конечным числом исходов.
Вместе с тем, именно в этой части теории вероятностей определяются все важнейшие понятия теории, в элементарной версии даются основные постановки задач и их решения.
Затем, при переходе к вероятностным пространствам с бесконечным числом элементарных событий, те же задачи изучаются с привлечением других технических средств, наиболее эффективной и естественной из которых является теория меры и интеграла Лебега.
Разумеется, при этом существенно расширяется диапазон исследований.