4.5. Распространение погрешностей

 

Если результат измерения определяется на основе математической обработки отдельных измеряемых величин, то погрешность вводится и в этот результат. Поэтому говорят о распространении погрешности. Различным структурам систематических и случайных погрешностей соответствуют разные законы распространения погрешностей.

 

4.5.1. Систематические погрешности. Результат измерения определяется по различным измеренным величинам _i . В статике эта связь в общем виде описывается уравнением

= f ( ,..., _i,... ) .

При малых отклонениях отдельных измеренных величин результирующее отклонение можно рассчитать, используя ряд Тейлора:

.

Если под малыми отклонениями понимать систематическую погрешность Е_s , т.е. отклонение от действительного значения, то систематическая погрешность результата измерения определяется по следующей формуле:

Е

Следует отметить, что систематическая погрешность может иметь знак плюс или минус, вследствие чего возникает возможность её компенсации.

Особое значение для требований, предъявляемых к систематическим погрешностям, имеют частные производные . Эти коэффициенты воздействия, или весовые коэффициенты, показывают, с каким весом отдельные систематические погрешности участвуют в образовании систематической погрешности результата измерения.

 

4.5.2.Случайные погрешности. Случайная погрешность, рассматриваемая как единичное явление по своей природе не может быть предсказана заранее. Однако можно высказать суждение о её статистических свойствах. При нормальном распределении погрешности среднеквадратичное отклонение является мерой, характеризующей плотность распределения погрешности. Поэтому вопрос о распространении погрешности сводится к способу распространения статистической характеристики или доверительных границ. В этом случае требуется определить среднеквадратичное отклонение результата измерения при известных среднеквадратичных отклонениях влияющих величин .

Если отдельные влияющие величины взаимно независимы и для среднеквадратичных отклонений справедливо неравенство « , то можно вычислить по следующей формуле:

Если вместо среднеквадратичных отклонений представить их оценки – рассеяния , то получим соотношение (правда, не строгое) для определения результата измерения:

.

Для увеличения точности расчёта результата измерения можно использовать средние значения влияющих величин:

Если для усреднения каждой из влияющих величин использованы по значений, то среднеквадратичное отклонение или рассеяние уменьшается согласно (5.1):

или .

Если рассеяние влияющих величин заранее неизвестно, то можно определить его одновременно с усреднением , используя те же значений. Доверительные границы погрешности среднего результата измерения определяют по формуле:

.

Величину определяют по рис. 1.3-8 для выбранной доверительной вероятности Р (%) и при числе степеней свободы = n –1.

 

4.5.3. Предел погрешности. Предел погрешности применяют для задания максимального гарантированного значения погрешности. Этот предел содержит как оценённую систематическую, так и случайную погрешность. Пределы погрешностей отдельных измеренных величин могут иметь положительные, отрицательные или неопределённые знаки. При неопределённых знаках предел погрешности результата измерения определяется суммированием абсолютных величин пределов погрешности отдельных измеренных значений:

.

Если знаки пределов погрешности измеренных величин известны, то положительный и отрицательный пределы погрешности результата измерения вычисляются отдельно:

;

 

;