6.5. Частотные характеристики периодического сигнала

 

Математическое описание и обработка гармонических сигналов осуществляются просто. В связи с этим периодический сигнал часто представляют в виде ряда Фурье, т. е. разлагают на гармо­нические составляющие. При этом гармонические составляющие могут быть описаны тремя равноценными способами. Для типовых периодических сигналов, таких как прямоугольные, пилообразные колебания и др., составлены та­блицы соответствующих рядов Фурье.

6.5.1. Ряд Фурье как сумма синусоидальных и косинусоидальных колебаний. Ряд Фурье периодического сигнала по определению равен:

,

где - круговая частота основной гармонической составляющей:

;

Смысл уравнения ряда Фурье при описании сигнала состоит в том, что вся информация о сигнале заключена в амплитудах или как функция дискретных частот . Для периодических функций характерна дискретность амплитудных спектров и , т. е. они суще­ствуют только при дискретных величинах частоты . Коэффициент ряда Фурье соответствует так называемой постоянной составляющей сигнала. Коэффициент отсутствует в тех случаях, когда сигналы имеют вид последовательности прямоугольных импульсов.

6.5.2. Ряд Фурье как сумма косинусоидальных колебаний с различным сдвигом фаз. На основании тригонометрической теоремы сложения ряд Фурье можно записать в следующей форме:

где

При этом описание сигнала даётся в виде дискретного амплитудного спектра и дискретного фазового спектра .

7.5.3. Ряд Фурье в комплексной форме. Наиболее просто ряд Фурье описывается с помощью комплексного коэффициента :

;

где

Используя уравнение Эйлера, можно показать, что

При этом векторная величина эквивалентна величинам и или и :

6.6. Частотные характеристики апериодического сигнала

 

Для апериодических сигналов так же, как и для периодических, расчетные методы, связанные с процессом передачи сигналов, значительно упрощаются при использовании их частотного пред­ставления. Однако для этих сигналов не могут быть использованы введенные выше коэффициенты Фурье или , так как «период» Т стремится к бесконечности.

Вместо ряда Фурье используют так называемое преобразование Фурье. Не давая здесь строго математической формулировки этого понятия, рассмотрим крат­ко его получение путем предельного перехода.

Вначале будем рассмат­ривать апериодический сиг­нал только на отрезке -T/2<t<T/2. Представим теперь периодический сигнал, который на указанном отрезке совпадает с первоначальным сигналом, а вне его периодически по­вторяется. Этот периодический сигнал можно представить в виде ряда Фурье. Если теперь указанный интервал (период) Т стре­мить к бесконечности, то соответствующий ряд Фурье будет описывать апериодический сигнал.

Как показано в предыдущем разделе, амплитудные и фазовые спектры рядов Фурье являются дискретными. Интервал между спектральными линиями равен

Если теперь Т будет стремить к бесконечности, то спектральные линии станут все более и более сближаться, и при предельном переходе возникает непрерывный спектр. Однако одновременно исчезают коэффициенты Фурье, соответствующие отдельным амплитудам. Вместо них вводят так называемую плотность ампли­туды, например:

Таким образом, возникает непрерывно распределенная спек­тральная плотность амплитуды, которая не исчезает и при пре­дельном переходе.

6.6.1. Преобразование Фурье. Коэффициенту Фурье периодического сигнала при апериодическом сигнале соответствует преобразование Фурье:

.

Величина в общем случае является комплексной. Ее действительная часть соответствует коэффициентам , а мнимая — коэффициентам ряда Фурье. Следует, однако, учитывать, что преобразование Фурье отображает уже не амплитуды, а спек­тральную плотность амплитуд. Изображение двух спектральных плотностей амплитуд и описывает непери­одический сигнал в частотном диапазоне. Оно эквивалентно изображению функции времени .

Комплексная величина может быть изображена в виде ее модуля и фазы:

; .

Обратное преобразование Фурье:

позволяет по описанию сигнала в частотном диапазоне x определить сигнал как функцию времени x (t).