Практичне заняття № 5 статистичне моделювання випадкових подій

Мета занять: ознайомлення з основними методами імітації випадкових подій, здобуття практичних навичок у побудові моделюючих алгоритмів.

5.1 Основні процедури моделювання подій.

Формування випадкових дій при імітації процесів функціонування системи зводиться до генерації випадкових чисел ξ _і. Найбільш поширеною є рівномірна випадкова послідовність з межами 0 і 1. У подальшому цю послідовність будемо називати РВП [0, 1]. Належність числа до РВП [0, 1] означає, що це число ξ _і більше або дорівнює нулю і менше або дорівнює одиниці і поява кожного такого числа рівноімовірна.

Для імітації випадкових подій використовується процедура визначення результату випробування за “жеребкуванням” згідно з ймовірностями р₁, р₂, …, р _s .

Сутність процедури полягає у наступному .

Нехай маємо випадкові числа ξ _і, тобто можливі значення випадковості величини  х_і  рівномірно розподіленою на інтервалі [0, 1]. Необхідно реалізувати випадкову подію А, яка настає з заданою ймовірністю р. Визначимо А як подію, котра полягає у тому, що вибране значення РВП ξ _і випадкової величини x задовольняє нерівності

(5.1)

Тоді імовірність події  А  буде . Протилежна подія полягає у тому, що  ξ _і > р.  Тоді

Процедура моделювання у цьому випадку полягає у виборі значень  _і і порівнянням їх з р. При цьому, якщо умова (5.1) виконуються, то результатом випробування є подія  А.

Розглянемо групу подій А₁, А₂,…, А_s котрі настають з імовірностями р₁, р₂,… р_s і утворюють повну групу , де р_і – ймовірність події  А_і.

Використовуючи таблицю або генератор випадкових чисел рвп [0, 1] процедуру моделювання випробувань за “жеребкуванням” виконують в такій послідовності:

1. Розбивають відрізок [0, 1] на n частин завдовжки р₁, р₂,… р_s з координатами точок поділу відрізка

l₀ = 0, l₁ = p₁, l₂ = p₁ + p₂ ,…, l_n = .

2. Вибирають із РВП[0,1] число ξ _і. Якщо вибране значення ξ _і задовольняє нерівності

, (5.2)

то вважають, що відбулася подія  А_К.

5.2 Моделювання незалежних подій

При моделюванні систем часто необхідно виконати такі випробування, шуканий результат котрих є складною подією, яка залежить від двох і більше простих подій.

Нехай, наприклад, незалежні події А і В мають ймовірності настання  р_А  та  р_В.  Можливими результатами будуть:

– настання події А і В з ймовірністю р_А р_В.;

– настання події А і В з ймовірністю (1 – р_А ) р_В.;

– настання події А і В з ймовірністю р_А (1 – р_В);

– настання події А і В з ймовірністю (1 – р_А)(1 – р_В);

Для моделювання сумісних випробовувань можна використати два способи:

1) послідовну перевірку умови за формулою (5.1);

2) визначення за формулою (5.2) настання однієї із подій, котра входить в повну групу подій.

Процедуру моделювання незалежних подій зазначеними способами розглянемо на прикладі.

Приклад 1. Проаналізувати роботу навантажувально-розвантажувального пункту, оснащеного трьома козловими кранами К₁, К₂, і К₃. Імовірність зайнятості кранів вантажними операціями в довільний момент часу становить К₁ = 0.65, К₂ = 0.80, і К₃ = 0.85.

Змоделювати процес функціонування системи.

Розв’язок. Введемо позначення для випадкових подій, що в довільний момент часу t характеризують роботу навантажувально-розвантажувального пункту:

А – працює перший кран К₁ ;

В – працює другий кран К₂ ;

С – працює третій кран К₃ ;

Перший спосіб моделювання випробування за “жеребкуванням”

Поточний стан навантажувально-розвантажувального пункту імітується початковими умовами:

ξ – перший кран працює; ξ ₁ > 0.65 – не працює;

ξ – другий кран працює; ξ ₂ > 0.80 – не працює;

ξ – третій кран працює; ξ ₃ > 0.75 – не працює.

Для визначення станів системи в наступний момент часу виберемо із таблиці Д.5 три випадкових числа: ξ₁ = 0.5489, ξ₂ = 0.3522, ξ₃ = 0.7555.

Згідно з обраною процедурою імітації в даний момент часу маємо:

- перший кран працює, настала подія А;

- другий кран працює, настала подія В;

- третій кран працює, настала протилежна подія .

Другий спосіб моделювання випробування за “жеребкуванням”

Формуємо повну групу подій.

; ; ; ;

; ; ; .

Обчислюємо ймовірності цих подій за правилом: імовірність добутку подій дорівнює добутку їх ймовірностей.

Маємо:

P(D₁) = 0.65  0.80  0.75 = 0.39;

P(D₂) = 0.65  (1 – 0.80)  0.75 = 0.1;

P(D₃) = 0.65  0.80  (1 – 0.75) = 0.13;

P(D₄) = 0.65  (1 – 0.80)  (1 – 0.75) = 0.033;

P(D₅) = (1 – 0.65)  0.80  0.75 = 0.21;

P(D₆) = (1 – 0.65)  (1 – 0.80)  0.75 = 0.053;

P(D₇) = (1 – 0.65)  0.80  (1 – 0.75) = 0.07;

P(D₈) = (1 – 0.65)  (1 – 0.80)  (1 – 0.75) = 0.018.

Поділяємо відрізок [0, 1] на вісім частин з координатами точок поділу: l₀=0; l₁ = 0.39; l₂ = 0.49; l₃ = 0.62; l₄ = 0.653; l₅ = 0.883; l₆ = 0.916; l₇ = 0.988; l₈ = 1.

Вибираємо наступне випадкове число, наприклад ξ₁ = 0.5479. Оскільки l₂ < ₁ < l₃, то імітується подія , тобто в досліджуваний момент часу працюють крани К₁ і К₂, а третій кран К₃ не працює.

В наступний момент вибрали випадкове число ξ₂=0.3522, маємо l₀ < ₂ < l₁ – імітується подія , тобто в даний момент часу працюють всі крани і т.д.