Kalashnikova_Nacher_geom

10.2 Классификация поверхностей вращения

Поверхности вращения можно классифицировать следующим образом:

1. Поверхности, образованные вращением кривой линии.

1) Поверхности, образованные вращением окружности или ее дуги:

– тор – образуется при вращении окружности а вокруг оси i, не проходящей через ее центр (рис. 10.2, а, б).

В зависимости от соотношения величин – радиуса R образующей окружности и расстояния t от центра окружности до оси вращения поверхности подразделяются на открытый и закрытый тор.

При R < t окружность не пересекает ось вращения (см.

рис. 10.2, а) и образуется открытый тор (кольцо).

При R ≥ t окружность пересекает ось вращения или касается ее (рис. 10.2, б). В этом случае образуется закрытый тор;

–сфера – образуется, если центр окружности принадлежит оси вращения (рис. 10.2, в);

–глобоид. Образующей этой поверхности является дуга окружности, плоскость которой может в общем случае не совпадать с осью вращения (рис. 10.2, г).

а	б	в	г
	Рис. 10.2

2) Поверхности, образованные вращением кривых второго порядка:

–эллипсоид вращения (сжатый и вытянутый);

–параболоид вращения;

–гиперболоид вращения (однополостный и двуполостный). 2. Поверхности, образованные вращением прямой линии:

–цилиндр вращения – образующая параллельна оси вращения;

–конус вращения – образующая пересекает ось вращения;

–однополостный гиперболоид вращения – образующая скрещива-

ется с осью вращения.

10.3 Пересечение поверхности вращения плоскостью

При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура – сечение. Определение проекций линии сечения начинают с построения опорных (характерных) точек. К опорным относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (они определяют границы видимости проекций кривой), и экстремальные точки (удаленные на максимальное и минимальное расстояния от плоскостей проекций). После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.

Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, пользуются различными методами. Один из них – метод вспомогательных секущих плоскостей. Данную плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью и находят линии пересечения вспомогательной плоскости с заданными плоскостью и поверхностью. Далее отмечают точку (точки), в которой пересекаются полученные линии пересечения.

10.3.1 Пересечение цилиндра вращения плоскостью

В зависимости от того, как расположена секущая плоскость по отношению к оси цилиндра вращения, в сечении могут получаться:

–окружность – секущая плоскость Σ перпендикулярна к оси вращения i;

–четырехугольник – секущая плоскость Σ параллельна оси вращения i;

–эллипс – секущая плоскость Σ составляет с осью вращения i угол, не равный 90º.

Задача 10.3.1.1. Построить сечение цилиндра фронтально проецирующей плоскостью Σ (рис. 10.3).

Плоскость Σ пересекает поверхности цилиндра по эллипсу, фронтальная проекция которого совпадает с фронтальным следом плоскости Σ2. Горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.

Натуральную величину эллипса можно построить по главным осям: большая ось равняется отрезку [12-22], а малая ось – диаметру цилиндра (отрезку [31-41]).

	Задача	10.3.1.2.	Построить	проекции
	линии пересечения цилиндра плоскостью
	общего положения Σ и определить нату-
Рис. 10.3	ральную	величину	фигуры	сечения
	(рис. 10.4).

Проведем через ось цилиндра горизонтально проецирующую плоскость Г, перпендикулярную к плоскости Σ. Плоскость Г пересекает поверхность цилиндра по образующим, а плоскость Σ – по прямой (MN). На пересечении образующих с прямой (MN) получаем низшую точку 1(11, 12) и высшую точку 2(21, 22) линии пересечения. Отрезок [1-2] – большая ось эллипса фигуры сечения.

Проведем через ось цилиндра плоскость Θ, параллельную фронтальной плоскости проекций. Плоскость Θ пересекает поверхность цилиндра по очерковым образующим, а плоскость Σ – по фронтали f, на их пересечении получаем точки 3(31, 32) и 4(41, 42), определяющие границы видимости.

Найдем точки пересечения профильных образующих цилиндра с плоскостью Σ – точки 5 и 6. Горизонтальные проекции 51 и 61 этих точек известны. По ним, пользуясь фронталями (или горизонталями), определим фронтальные проекции 52 и 62 этих точек. Малую ось эллипса – отрезок [7-8] – находим c помощью горизонтали h.

Аналогично можно найти промежуточные точки. Соединив последовательно фронтальные проекции всех найденных точек, получаем фронтальную проекцию фигуры сечения – эллипс. Горизонтальная проекция фигуры сечения – окружность, совпадающая с горизонтальной проекцией цилиндра.

Натуральную величину фигуры сечения определяем методом совмещения. Плоскость Σ совместим с горизонтальной плоскостью

Рис. 10.4

проекций П1, вращая ее вокруг горизонтального следа Σ1. По совме-

щенным проекциям точек 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 построим натуральную величину фигуры сечения.

10.3.2 Пересечение конической поверхности плоскостью

Поверхность прямого кругового конуса относится к поверхностям вращения. Она занимает особое место среди других поверхностей вращения, так как является носителем кривых второго порядка: ок-

ружности, эллипса, параболы, гиперболы. Эти кривые – плоские и,

следовательно, могут быть получены в результате сечения конической поверхности плоскостью.

На рис. 10.5 показано пересечение конической поверхности вращения плоскостью Σ, проходящей через ее вершину. Обозначим углы: между осью конуса и образующей – φ, между осью конуса и плоскостью Σ – α. В зависимости от соотношения величин углов φ и α могут быть получены сечения:

две прямые (образующие) – при φ > α; одна прямая (касательная) – при φ = α; точка (вершина конуса S) – при φ > α.

При пересечении конической поверхности плоскостью Σ, не проходящей через вершину конуса, в зависимости от соотношения величин углов α и φ в сечениях могут быть получены

(рис. 10.6):

	Рис. 10.5	а) гипербола – если плоскость Σ параллельна
		двум образующим, φ > α;
	б) парабола – если плоскость Σ параллельна одной образую-
	щей, φ = α;

в) эллипс – плоскость Σ пересекает все образующие конуса, φ < α (частный случай – окружность).

а	б	в
	Рис. 10.6

Задача 10.3.2.1. Построить проекции сечения поверхности прямого кругового конуса плоскостью Σ (рис. 10.7).

Плоскость Σ – фронтально проецирующая. Угол между секущей плоскостью и осью конической поверхности α больше угла наклона образующей конической поверхности к его оси φ, поэтому в сечении получаем эллипс, большая ось которого [AB] будет проецироваться на плоскость проекций П2 без искажения в [A2B2].

Малая ось эллипса [СD] проецируется на плоскость П2 в точку С2 = D2, расположенную в середине отрезка

[A2B2]. Величина малой оси [CD] определяется следующим образом. Проводим через

точку С2	= D2	фронтальную проекцию па-
раллели поверхности n2.
Для построения горизонтальной проек-
ции малой оси на горизонтальной проекции
оси конуса проводим окружность n1 радиу-
сом R и отмечаем точки ее пересечения С1 и
D1 с линией связи, проведенной из фронталь-
ной проекции малой оси. Малая ось эллипса
[С1D1] проецируется на плоскость П1 без ис-
кажения. Аналогично находятся промежу-
точные точки.			Рис. 10.7
Задача 10.3.2.2. Построить сечение поверхности прямого кругово-
го конуса плоскостью			(рис. 10.8).
Горизонтально			проецирующая
плоскость	параллельна двум обра-
зующим конуса, поэтому в сечении
получим гиперболу. Точки 1 и 2, рас-
положенные в основании конуса, оп-
ределяются без дополнительных по-
строений. Для нахождения наивысшей
точки гиперболы (точка 3) проведена
параллель n, касательная к следу
плоскости –		1, и на ней определена
точка 3. В точке 4, найденной при по-

мощи очерковой образующей, фрон-
тальная проекция гиперболы разделе-
на на видимую и невидимую части.
Промежуточная точка 5 найдена при	Рис. 10.8
помощи параллели n'.

10.3.3 Пересечение сферической поверхности плоскостью

Секущая плоскость всегда пересекает сферу по окружности. На плоскость проекций окружность может проецироваться в виде окружности, отрезка прямой или эллипса в зависимости от расположения секущей плоскости относительно плоскостей проекций.

Рассмотрим пример построения сечения сферы горизонтально проецирующей плоскостью Σ (рис. 10.9).

	На горизонтальную плос-
	кость проекций			окружность
	(фигура сечения) проециру-
	ется в виде отрезка прямой,
	на фронтальную – в виде эл-
	липса. Эллипс построим с
	помощью точек.
	Точки 1 и 2 расположены
	на экваторе сферы, точки 3 и
	4 – на главном меридиане
	сферы. Для нахождения экс-
	тремальных (верхней и ниж-
	ней) точек 5 и 6 определяем
	их горизонтальные проекции
	51	и 61	в середине горизон-
	тальной		проекции		отрез-
	ка [11-21]. Через горизонталь-
	ные проекции точек прово-
	дим	горизонтальную			проек-
	цию окружности n1, (на
	плоскость П1 она проециру-
	ется в линию).
	Расстояние от оси сферы
Рис. 10.9	до	очерковой		образующей
	определяет радиус окружно-
сти R. Данным радиусом строим фронтальную проекцию окружно-
сти n2 и на ней находим проекции 52	и 62. Промежуточные точки 7 и 8
определяются аналогичным способом.

Рис. 10.10

10.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Касательной к поверхности называется прямая, касательная к ка- кой-либо кривой, принадлежащей этой поверхности.

Понятие касательной прямой к поверхности основано на определении касательной к плоской пространственной кривой. Зададим произвольную точку М поверхности Φ. Возьмем точку М′, в которой секущая прямая s

пересекает	поверхность	Φ
(рис. 10.10).

Через точки М и М′ проведем некоторую плавную кривую m. Будем приближать точку М′ к

точке М по кривой m до их совпадения. Касательная t к поверхности Φ в заданной на поверхности точке М представляет собой предельное положение секущей sj. Через точку поверхности проходит множество кривых mi, каждая из которых имеет в точке М свою касательную. По определению каждая из этих касательных будет также касательной и к поверхности. Таким образом, через любую точку поверхности проходит бесчисленное множество касательных. В дифференциальной геометрии доказывается, что касательные, проведенные к обыкновенной точке поверхности, лежат в одной плоскости. Следовательно, ка-

сательная плоскость является геометрическим местом всех касательных, проходящих через заданную точку к поверхности.

Так как плоскость определяется двумя пересекающимися прямыми, то для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести две касательные к двум кривым (желательно простым по форме), принадлежащим поверхности и проходящим через эту точку. Построенные касательные прямые однозначно определяют касательную плоскость.

С понятием касательной плоскости связано понятие нормали к поверхности.

Нормалью к поверхности в заданной точке называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Линию пересечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль, называют нормальным сечением поверхности.

Рассмотрим взаимное расположение касательной плоскости и поверхности. В зависимости от вида поверхности касательная плоскость может иметь с поверхностью как одну, так и множество точек (линию). Линия касания может быть в то же время и линией пересечения поверхности с плоскостью. Возможны также случаи, когда на поверхности имеются точки, в которых невозможно провести касательную к поверхности, такие точки называют особыми.

Рассмотрим примеры построения касательных плоскостей и нормалей к поверхностям.

Задача 10.4.1. Провести через точку А касательную плоскость и нормаль к цилиндрической поверхности (рис. 10.11, а).

а

б

Рис. 10.11

В данном случае касательная плоскость определена образующей цилиндра а, проходящей через заданную точку А (линия касания), и касательной прямой к окружности (параллели) m на поверхности цилиндра.

На рис. 10.11, б показано построение касательной плоскости к поверхности цилиндра на проекционном чертеже.

Нормаль к поверхности n построена из условия перпендикулярно-

сти прямой плоскости: n1 b1 ,

n2 a2 .

Задача 10.4.2. Провести через точку А касательную плоскость и нормаль к конической поверхности (рис. 10.12, а).

а

б

Рис. 10.12

Касательная плоскость определена образующей а, проходящей через точку А, и касательной b к окружности m, расположенной на поверхности конуса. Построение касательной плоскости к поверхности конуса, проходящей через точку А, показано на рис. 10.12, б. Касательная плоскость определяется прямыми а и b. Для построения нормали к поверхности конуса, проходящей через точку A, проведем в касательной плоскости линии уровня: b – горизонталь, f – фронталь, и построим проекции нормали:

n1 b1 , n2 f2 .

Задача 10.4.3. Провести через точку А касательную плоскость и нормаль к сферической поверхности (рис. 10.13).

Касательная плоскость имеет со сфериче-
ской поверхностью одну общую точку – точ-
ку касания А. У сферы касательная плоскость
всегда перпендикулярна к радиусу сферы,
следовательно, радиус сферы является нор-
малью. Вначале построим проекции нормали,
затем через точку касания зададим плоскость,
перпендикулярную к радиусу (нормали) сфе-
ры. Касательная плоскость определяется ли-
ниями уровня: горизонталью а и фронта-
лью b: a1 n1 ; b2 n2 .	Рис. 10.13