Kalashnikova_Nacher_geom

6 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОЕКЦИОННОГО ЧЕРТЕЖА. ЗАМЕНА ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

6.1 Основные понятия и определения

Трудность и точность графического решения задач часто зависят не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры, входящие в условие задачи, по отношению к плоскостям проекций. Во многих случаях решение задач значительно упрощается, если геометрические фигуры занимают частное положение относительно плоскостей проекций, т.е. являются фигурами уровня или проецирующими.

Например, можно сразу по чертежу определить расстояние между

	проецирующими	параллельными
	прямыми а и b (рис. 6.1, а), для пря-
	мых общего положения без допол-
	нительных построений этого		сде-
	лать нельзя (рис. 6.1, б).
	Необходимые условия для упро-
	щения решения ряда позиционных и
	метрических задач требуют построе-			а	б
	ния новых, дополнительных проек-
					Рис. 6.1
	ций исходя из двух	заданных.	До-

полнительные проекции позволяют получить либо вырождение проекций отдельных элементов, либо их натуральные величины.

Построение новых, дополнительных проекций называют преобразованием чертежа. Существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:

на изменении положения плоскостей проекций относительно неподвижных геометрических фигур;

на изменении положения заданных геометрических фигур относительно неподвижных плоскостей проекций;

на изменении направления проецирования, т. е. на замене ортогонального проецирования косоугольным или центральным на одну из старых плоскостей проекций или на какую-либо новую.

6.2 Замена плоскостей проекций

Ортогональные проекции на две взаимно перпендикулярные основные (горизонтальную и фронтальную) плоскости проекций позволяют видеть объект сверху и спереди. Однако в некоторых случаях объект необходимо видеть и с других сторон, т.е. спроецировать его на другие плоскости. Это можно сделать, используя способ замены плоскостей проекций.

Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П1 или П2) заменяют новой плоскостью. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций выбирается с таким расчетом, чтобы она была перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций и при этом рассматриваемая геометрическая фигура занимала частное положение по отношению к ней.

Таким образом, положение объекта в пространстве остается неизменным. Изменяют положение плоскостей проекций, при этом всегда сохраняется взаимная перпендикулярность двух плоскостей проекций.

Одна из плоскостей проекций является общей для двух систем плоскостей проекций. Все свойства геометрической фигуры, отнесенные к основной системе, справедливы и для дополнительной системы плоскостей проекций.

6.3 Замена одной плоскости проекций

Пусть задана точка А и система двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций П1 и П2 (рис. 6.2, а).

Ортогональными проекциями точки А на плоскостях П1 и П2 являются точки А1 и А2. Введем дополнительную плоскость проекций П4, перпендикулярную к плоскости П1, и спроецируем точку А на эту плоскость, проекцией будет точка А4. Получаем две системы плоскостей проекций: основную (заменяемую) П1 / П2 и дополнительную (новую) П1 / П4. Положение точки А в пространстве определяется двумя ее проекциями: А1 и А2 в основной системе плоскостей

проекций и А1 и А4 – в дополнительной системе плоскостей проекций. При переходе от одной системы к другой видим, что аппликата ZA точки А и ее горизонтальная проекция А1 остаются неизменными. Это связано с тем, что плоскость П1 не изменяет своего положения и является общей для двух систем плоскостей проекций. Переход от одной системы плоскостей проекций к другой легко проследить на комплексном чертеже (рис. 6.2, б).

а	б
	Рис. 6.2

В системе П1/П2 точка А задана проекциями А1 и А2. Дополнительно образованная ось проекций х1 определяет положе-

ние новой плоскости – П4, появляется новая система плоскостей проекций П1/П4. Проекция А4 точки А на плоскость П4 определяется на линии связи, перпендикулярной к оси х1, и отстоит от оси х1 на величину ZA.

6.4 Замена двух плоскостей проекций

Замена одной из плоскостей проекций не всегда может разрешить поставленную задачу. Иногда приходится менять две и более плоскостей.

Построения, выполняемые при последовательной замене двух плоскостей проекций, не отличаются от тех, которые выполнялись при однократной замене. При этом надо руководствоваться следую-

щим правилом: расстояние от новой проекции точки до новой оси проекций равно расстоянию от заменяемой проекции точки до предыдущей оси проекций (рис. 6.3).

Через точки незаменяемой проекции проводят новые линии связи, перпендикулярные

Рис. 6.3	к новой оси, а заменяемая про-

екция позволяет измерить высоту или глубину точек оригинала от старой оси и отложить их на новых линиях связи от новой оси.

Можно выполнить аналогичное преобразование комплексного чертежа точки А в системе П1/П2 в комплексный чертеж в системе П2/П4, а затем в системе П4/П5 (рис. 6.4).

Рис. 6.4

мы достигли сле-

х1. Соединяя найденные

Рис. 6.5

6.5Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Рассмотрим основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций. Применение данного способа основывается на решении четырех основных задач.

Задача 1. Прямую m общего положения перевести в положение линии уровня (рис. 6.5).

Чтобы прямая m стала линией уровня, например фронталью, относительно новой плоскости проекций, введем новую горизонтально проецирующую плоскость проек-

ций П4 параллельно прямой m. Перейдем от системы П1/П2 к системе П1/П4.

Новую ось проекций х1 проводим параллельно горизонтальной проекции m1. Для построения новой проекции прямой m восстановим линии связи перпендикулярно к оси проекций х1 и отметим на :них новые проекции точек А и В: точку А4 – на расстоянии ZA

от оси х1, точку В4 – на расстоянии ZВ от оси точки, получаем новую проекцию m4 прямой m.

После замены плоскости П2 на плоскость П4 дующего:

прямая m (m1, m4) в новой системе плоскостей проекций стала линией уровня;

отрезок [A4B4] определяет натуральную величину отрезка [АВ];

угол , образованный проекцией [А4В4] с осью х1, определяет угол наклона прямой m к плоскости П1.

Задача 2. Прямую m общего положения перевести в положение проецирующей прямой (рис. 6.6).

Преобразование выполняется в два этапа. Сначала необходимо выполнить преобразование прямой общего положения в положение линии уровня (см. задачу 1) и перейти от системы П1/П2 к сис-

теме П1/П4.

Рис. 6.7

Далее, для преобразования прямой

m(АВ) в проецирующую пря-

	мую	необходимо					заменить
	еще одну плоскость проек-
	ций,	переходя			от		системы
	П1/П4	к системе П4/П5. Но-
	вую плоскость проекций вы-
	бираем		перпендикулярно						к
	плоскости П4 и, кроме того,
	перпендикулярно						к	пря-
	мой m. Новая ось проекций
	х2 в этом случае должна быть
	перпендикулярна					к		проек-
	ции (А4В4).
	Таким образом, добива-
	емся	того,		что		в	системе
Рис. 6.6	П4/П5		прямая		m становится
	проецирующей линией.
Задача 3. Плоскость Σ(АВС) общего положения перевести в по-
ложение проецирующей плоскости (рис. 6.7).
	Для		того	чтобы			сделать
	плоскость Σ, заданную тре-
	угольником ABC, например,
	фронтально проецирующей, на-
	до заменить плоскость П2							новой
	плоскостью П4, проведя по-
	следнюю		перпендикулярно						к
	плоскости Σ. Для этого постро-
	им в плоскости Σ горизон-
	таль h(h1, h2), а новую плос-
	кость проекций				П4		проводим
	перпендикулярно				к	этой		гори-

зонтали, соответственно перпендикулярно и к незаменяемой плоскости проекций П1. Тогда горизонталь h и плоскость Σ станут

проецирующими относительно плоскости П4.

Заменив плоскость П2 плоскостью П4, мы достигли следующего:

плоскость Σ (ABC) стала проецирующей в новой системе плоскостей;

угол , образованный следом Σ4 с осью х1, равен натуральной величине угла наклона плоскости Σ к горизонтальной плоскости про-

екций П1.

Задача 4. Плоскость Σ(ABC) общего положения перевести в положение плоскости уровня (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Преобразование выполняется в два этапа. Преобразуем систему плоскостей проекций П1/П2 в систему П1/П4 таким образом, чтобы заданная плоскость общего положения стала проецирующей (см. задачу 3).

Для преобразования плоскости Σ в положение плоскости уровня надо перейти от полученной системы плоскостей П1/П4 к новой системе П4/П5, т. е. заменить плоскость П1 плоскостью П5, параллельной плоскости Σ треугольника ABC. Новая ось проекций х2 проводится параллельно следу Σ4, и на линиях связи откладываются соответственно расстояния от точек A1, B1, C1 до оси х1. Получаем новую проекцию плоскости Σ.

Проведя последовательную замену двух плоскостей проекций, мы достигли следующего:

плоскость Σ (ABC) стала плоскостью уровня относительно плос-

кости П5;

проекция треугольника A5B5C5 представляет собой натуральную величину треугольника ABC.

Рассмотренные выше четыре основные задачи используются для решения других задач способом замены плоскостей проекций.

Задача 6.5.1. Определить углы наклона плоскости Σ к плоскостям проекций П1 и П2 (рис. 6.9). Плоскость задана следами.

	При решении задачи используем
	преобразование, рассмотренное в ос-
	новной задаче 3.
	Переходим от системы плоско-
	стей П1/П2 к системе П1/П4. Плос-
	кость П4 перпендикулярна к плоско-
	сти Σ, следовательно, ось х1 на чер-
	теже перпендикулярна к следу Σ1. С
	помощью точки 1 находим новый
	фронтальный след Σ4	и определяем
	величину угла –	угла наклона
Рис. 6.9	плоскости Σ к горизонтальной плос-

кости проекций. Для определения величины угла β – угла наклона плоскости Σ к фронтальной плоскости проекций – переходим от системы плоскостей П1/П2 к системе плоскостей П2/П5 и выполняем аналогичные построения. Плоскость П5 проводят перпендикулярно к плоскости Σ, а ось х2 – перпендикулярно к следу Σ2.

Задача 6.5.2. Определить расстояние от точки К до плоскости тре-

	угольника ABC (рис. 6.10).
		Расстояние		от точки	до
		плоскости	определяется		от-
		резком	перпендикуляра,
		опущенного из точки на эту
		плоскость.	Проводим новую
		плоскость П4		перпендику-
		лярно к плоскости П1 и плос-
		кости треугольника ABC. Из-
		вестными построениями (см.
		задачу 3)	определяем новую
		проекцию		треугольника
	Рис. 6.10	А4В4С4 и проекцию точки К4.
		Опуская из проекции К4 пер-

пендикуляр на след плоскости треугольника ABC, находим отрезок К4Е4, равный натуральной величине искомого расстояния от точки К до плоскости. Построениями, выполненными в обратном порядке, определяем проекции K1E1 и К2Е2 искомого перпендикуляра в основной системе плоскостей проекций.

Задача 6.5.3. Определить величину угла между плоскостями треугольников ABC и АВD (рис. 6.11).

Используя преобразование, рассмотренное в основной задаче 2, переведем общее ребро АВ двугранного угла в положение проецирующей прямой. Тогда примыкающие к ребру грани становятся проецирующими по отношению к плоскости П5. Угол δ – искомый угол между

двумя плоскостями.	Рис. 6.11

7 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ (ВРАЩЕНИЕ) ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

7.1 Основные понятия и определения

Изменение взаимного положения проецируемой фигуры и плоскостей проекций способом перемещения (вращения) осуществляется путем перемещения геометрической фигуры относительно неподвижной системы плоскостей проекций. При этом траектории движения точек фигуры должны находиться в параллельных плоскостях. В зависимости от положения этих плоскостей по отношению к плоскостям проекций и вида кривой (траектории перемещения точки) различают несколько способов подобных преобразований:

1. Способ плоскопараллельного перемещения.

Плоскости – носители траекторий перемещения точек – параллельны плоскости проекции. Траектория – произвольная плоская линия.

2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций (вращение вокруг проецирующей оси).

Траектории – дуги окружностей, центры которых находятся на оси, перпендикулярной к плоскости проекций.

3.Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций

(вращение вокруг линии уровня).

4.Способ вращения вокруг оси, принадлежащей плоскости проек-

ций (вращение вокруг следа плоскости).

7.2 Плоскопараллельное перемещение

Плоскопараллельным перемещением фигуры в пространстве назы-

вается такое ее перемещение, при котором все точки фигуры перемещаются в плоскостях, параллельных между собой.

Справедливо следующее утверждение: при плоскопараллельном перемещении геометрической фигуры одна из ее проекций, оставаясь равной самой себе, перемещается в плоскости проекций, другие проекции точек геометрической фигуры перемещаются по прямым, параллельным направлению оси проекций.