Kalashnikova_Nacher_geom

2.9Теорема о проецировании прямого угла

Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) проецируется на плоскость проекций в истинную величину, если его стороны параллельны этой плоскости. При этом вторая проекция угла вырождается в прямую линию, перпендикулярную к линиям связи. Кроме того, прямой угол проецируется в истинную величину еще и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости проекций.

Теорема: если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости, то прямой угол проецируется на эту плоскость без искаже-

ния (рис. 2.20).
Дано: а b,		b || П0.
Доказать, что				а0 b0.
Доказательство:					проведем через
прямые а и а0 плоскость , тогда b .
По условию		b			b0, следовательно,
b0 , откуда а0			b0. Что и требова-
лось доказать.
Задача.	Определить расстояние от
точки А до прямой m.
Решение представлено на рис. 2.21.						Рис. 2.20
По условию задачи прямая m парал-
лельна плоскости П1. Следовательно, на
основании	теоремы				о проецировании
прямого угла можно построить гори-
зонтальную проекцию перпендикуляра,
опущенного из проекции А1 на проек-
цию m1. Находим горизонтальную про-
екцию основания				перпендикуляра –
точку В1. Затем		определяем фронталь-
ную проекцию		В2		точки В. [А2В2] –
фронтальная проекция перпендикуляра.

	Методом прямоугольного треуголь-
	ника определяем натуральную величину
	отрезка [АВ]. |В1В0| – искомое расстоя-	Рис. 2.21
	ние от точки А до прямой m.

3 ПЛОСКОСТЬ

3.1Задание плоскости на чертеже

Плоскость есть такое непрерывное множество точек, основные свойства которого выражаются следующими аксиомами:

1.Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

2.Прямая, проходящая через любые две различные точки плоскости, принадлежит этой плоскости.

3.Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.

Плоскость считается заданной, если относительно точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее к данной плоскости.

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками, не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на чертеже достаточно указать проекции:

1) трех точек, не принадлежащих одной прямой линии (рис. 3.1, а); 2) прямой и не принадлежащей ей точки (рис. 3.1, б); 3) двух пересекающихся прямых (рис. 3.1, в); 4) двух параллельных прямых (рис. 3.1, г);

5) плоской фигуры, например, треугольника (рис. 3.1, д).

а	б	в	г	д
		Рис. 3.1

Каждый из представленных способов задания плоскости может быть преобразован в любой другой. Например, проведя через точки А и В прямую (см. рис. 3.1, а), получим задание плоскости, представленное на рис. 3.1, б.

3.2Следы плоскости

Иногда целесообразно задать плоскость не произвольными пересекающимися прямыми, а прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие прямые называют следами плоскости, а вариант задания плоскости называют методом задания плоско-

сти следами.

Рассмотрим плоскость Σ (рис. 3.2), которая пересекает ось проекций х в точке Σх, а плоскости проекций – по прямым Σ1, Σ2 и Σ3. При

этом различают:
горизонтальный след плоскости Σ –
Σ1 = Σ Π1;
фронтальный	след	плоскости Σ –
Σ2 = Σ Π2;
профильный	след	плоскости Σ –
Σ3 = Σ Π3.
Точку Σх	пересечения плоско-
сти Σ с осью проекций х называют
точкой схода следов плоскости Σ
на оси х. Соответственно можно
обозначить	точки	пересечения

плоскости с осями проекций y и z	Рис. 3.2

– Σy, Σz.

Задание плоскости следами в системе двух плоскостей проекций П1/П2 является весьма наглядным (рис. 3.3, а). След плоскости на

	плоскости проекций совпадает со своей проекцией на этой плоскости
	(горизонтальный след сов-
	падает с горизонтальной
	проекцией, фронтальный – с
	фронтальной), а вторая про-
	екция каждого следа распо-
	лагается на оси проекций.
	Поэтому на чертеже можно
	ограничиться заданием са-
	мих следов, а не их проек-	а	б
	ций (рис. 3.3, б).
			Рис. 3.3

Задача. Построить следы плоскости Σ, заданной пересекающимися прямыми а и b (рис. 3.4, а).

Для построения следов плоскости можно воспользоваться известным свойством, что следы прямых, лежащих в плоскости, принадлежат одноименным следам плоскости. Решение приведено на рис. 3.4, б. Для построения горизонтального следа плоскости Σ стро-

им горизонтальные следы прямых а и b: а Π1 = 1,	b	Π1 = 2. Го-
ризонтальный след плоскости Σ проходит через точки 1		и 2. Фрон-

тальный след плоскости Σ проходит через точки 3 и 4: а Π2 = 3, b Π2 = 4.

а	б
	Рис. 3.4

При построении следов плоскости точка Σх их пересечения может быть использована для проверки построения: оба следа должны пересекаться между собой в точке на оси проекций х (см. рис. 3.4, б).

3.3 Положение плоскости относительно плоскостей проекций

В пространстве возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций:

1.Плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций. Эта плоскость называется плоскостью общего положения (см.

рис. 3.1 – 3.4).

2.Плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций.

3 Плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций или параллельна третьей плоскости проекций.

3.3.1 Проецирующие плоскости

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют проецирующей плоскостью. В системе трех плоскостей проекций можно выделить три типа проецирующих плоскостей.

Горизонтально проецирующая плоскость – это плоскость,

перпендикулярная к горизонтальной плоскости	проекций: Σ П1
(рис. 3.5).
Ее горизонтальная проекция вы-
рождается в прямую линию, положе-
ние которой соответствует положению
плоскости в пространстве. Фронталь-
ная проекция плоскости представляет
собой множество точек, совпадающее
с множеством точек плоскости П2.
Горизонтальный след Σ1 составля-
ет с осью х угол β – угол наклона
плоскости Σ к фронтальной плоскости
проекций П2. Фронтальный след Σ2
перпендикулярен к оси х.	Рис. 3.5
Горизонтальная проекция любой

геометрической фигуры, принадлежащей горизонтально проецирующей плоскости Σ, совпадает с горизонтальным следом плоскости Σ1:

А А1 1.

На рис. 3.6 показаны примеры изображений горизонтально проецирующих плоскостей, заданных следами (рис. 3.6, а), параллельными прямыми (рис. 3.6, б) и треугольником (рис. 3.6, в).

а

б

в

Рис. 3.6

Фронтально проецирующая плоскость – это плоскость, перпенди-

кулярная к фронтальной плоскости проекций:				П2 (рис. 3.7).
		Фронтальная проекция				такой
	плоскости вырождается в прямую
	линию, положение которой соот-
	ветствует положению плоскости в
	пространстве. Горизонтальная про-
	екция		профильно		проецирующей
	плоскости представляет собой мно-
	жество точек, совпадающее с мно-
	жеством точек плоскости П1.
		Горизонтальный			след плоскос-
	ти	1	перпендикулярен к оси проек-
	ций х, а фронтальный след					2 со-
	ставляет с осью х угол α – угол на-
Рис. 3.7	клона плоскости				к горизонталь-
	ной плоскости проекций П1.
Фронтальная проекция любой геометрической фигуры, принадле-
жащей фронтально проецирующей плоскости				, совпадает с фрон-
тальным следом плоскости 2: В		В2		2.

На рис. 3.8 представлены примеры изображений фронтально проецирующих плоскостей, заданных следами (рис. 3.8, а), пересекающимися прямыми (рис. 3.8, б), плоской фигурой (рис. 3.8, в).

а

б

в

Рис. 3.8

Профильно проецирующая плоскость – это плоскость, перпенди-

кулярная к профильной плоскости проекций: Λ П3 (рис. 3.9).

Профильная проекция плоскости вырождается в прямую, положение которой соответствует положению плоскости в пространстве. Горизонтальная и фронтальная проекции представляют собой множест-

	во точек, совпадающих соответ-
	ственно	с	множеством	точек
	плоскостей П1 и П2.
	Профильная проекция любой
	геометрической фигуры, распо-
	ложенной в профильно проеци-
	рующей плоскости, совпадает с
	профильным следом плоскости:
	С Λ С3 Λ3.
	Комплексный чертеж			про-
	фильно	проецирующей плоско-
	сти, заданной следами, показан
	на рис. 3.10, а; заданной плоской
	фигурой –		на рис. 3.10, б. Если		Рис. 3.9
	профильно проецирующая плос-

кость проходит через ось проекций х, то на чертеже в системе плоскостей П1/П2 она может быть задана следами, совпадающими с осью проекций х, и проекциями принадлежащей ей точки (рис. 3.10, в).

а

б

в

Рис. 3.10

Проецирующие плоскости, проходящие через биссектрисы углов, образованных осями проекций, называют биссекторными плоскостя-

ми (рис. 3.11).

Любая точка биссекторной плоскости, проходящей через ось х, удалена на одинаковые расстояния от горизонтальной и фронтальной

	плоскостей проекций. Горизонталь-
	ная и фронтальная проекции любых
	геометрических фигур, принадлежа-
	щих биссекторной плоскости I и III
	четвертей, равны и равноудалены от
	оси проекций х. Свойство биссектор-
	ной плоскости II и IV четвертей: го-
	ризонтальная и фронтальная проек-
	ции любых геометрических фигур,
	принадлежащих этой плоскости, сов-
Рис. 3.11	падают.

3.3.2 Плоскости уровня

Плоскости, параллельные плоскости проекций и перпендикулярные одновременно к двум плоскостям проекций, называют плоско-

стями уровня.

Горизонтальной плоскостью уровня называется плоскость, парал-

лельная горизонтальной плоскости проекций: Σ П1 (рис. 3.12). Горизонтальная плоскость уровня Σ перпендикулярна к плоско-

стям П2 и П3, т. е. является фронтально и профильно проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая геометрическая фигура, принадлежащая плоскости Σ, проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 в натуральную величину.

Фронтальной плоскостью уровня называется плоскость, парал-

лельная фронтальной плоскости проекций: П2 (рис. 3.13).

Рис. 3.12

Рис. 3.13

Геометрическая фигура, принадлежащая плоскости , проецируется на горизонтальную плоскость проекций П2 в натуральную величину.

Профильная плоскость уровня – это плоскость параллельная профильной плоскости проекций: Λ П3

(рис. 3.14).

В этом случае геометрическая фигура, принадлежащая

плоскости Λ, проецируется без
искажения на профильную
плоскость проекций П3.	Рис. 3.14

3.4 Прямая и точка в плоскости

Прямая линия принадлежит плоскости при условии, что она проходит:

1)через две точки этой плоскости;

2)через точку плоскости, параллельно любой прямой этой плос-

кости.

На рис. 3.15, а показано изображение плоскости Σ, заданной двумя пересекающимися прямыми: m и n. Прямая АВ принадлежит плоскости Σ, так как проходит через две точки А и В этой плоскости, прямая k также принадлежит плоскости Σ, так как она проходит через точку В плоскости и параллельна прямой m этой плоскости. Аналогичные построения, выполненные на комплексном чертеже, показаны на рис. 3.15, б.

а

б

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Точка в плоскости выбирается по условию, что она находится на прямой линии этой плоскости. Если точка М принадлежит прямой АВ плоскости Σ, то она принадлежит данной плоскости.

Задача. Построить недостающую горизонтальную проекцию точки К, принадлежащей плоскости Σ, заданной параллельными прямыми a и b (рис. 3.16).

Через известную проекцию К2 проводим в плоскости Σ прямую m. Она пересекает прямые а и b соответственно в точках 1 и 2. Через горизонтальные проекции этих точек строим горизонтальную проекцию m1 и на ней находим недостающую горизонтальную проекцию точки К.

3.5 Прямые особого положения в плоскости

В плоскости, кроме прямых произвольного (общего) положения, можно выделить линии, занимающие особое (частное) положение по отношению к плоскостям проекций. К ним относятся:

1)линии уровня;

2)линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. К линиям уровня в плоскости относятся горизонталь, фронталь и

профильная прямая плоскости.

Горизонталью плоскости называют прямую, принадлежащую плоскости и параллельную горизонтальной плоскости проекций. Обозначают горизонталь буквой h (рис. 3.17).

а

б

Рис. 3.17