Kalashnikova_Nacher_geom

Прямая может занимать в пространстве различные положения относительно плоскостей проекций:

прямая общего положения не параллельна ни одной из плоскостей проекций;

прямая уровня параллельна только одной из плоскостей проекций;

прямая проецирующая параллельна двум плоскостям проекций, т.е. перпендикулярна к третьей плоскости проекций.

Все точки прямой общего положения имеют различные координаты x, y, z (см. рис. 2.1). На чертеже ни одна из проекций прямой общего положения не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к ней. Разность координат двух несовпадающих точек А и В, принадлежащих прямой общего положения, не равна нулю:

ХВ - ХА = х 0,

YB - YA = у 0,

ZB - ZA = z 0.

2.3Прямые уровня

Рассмотрим прямую, параллельную одной из плоскостей проекций. В системе трех плоскостей проекций возможны три типа линии уровня.

Горизонтальная линия уровня параллельна горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 2.2, а).

Координата z всех точек прямой является постоянной. Горизонтальная проекция прямой занимает положение, соответствующее положению самой прямой в пространстве, а фронтальная проекция па-

раллельна оси проекций х, так как ZB - ZA = 0		(рис. 2.2, б).
Отрезок [АВ] горизонтальной прямой и угол наклона ее к плоско-
сти П2 проецируются на
плоскость П1 без иска-
жения:
[AB] || П1 |А2В2| || х ;
|А1В1| = |АВ|.
Фронтальная линия
уровня параллельна фрон-
тальной плоскости проек-	а	б
ций П2 (рис. 2.3, а).		Рис. 2.2

Для такой прямой координата у всех точек постоянна. Фронтальная проекция занимает положение, соответствующее положению самой фронтальной прямой в пространстве, а ее горизонтальная проекция параллельна оси проекций х, так как YB - УA = 0 (рис. 2.3, б).

Отрезок [CD] фронтальной прямой и угол наклона ее к плоскости П1 проецируются на плоскость П2 без искажения:

		[CD] || П2 |C1D1| || х ;
а	б	|C2D2| = |CD|.
	Рис. 2.3

Профильная линия уровня параллельна профильной плоскости проекций П3 (рис. 2.4, а).

Координата х всех точек такой прямой постоянна. Здесь профильная проекция занимает положение, соответствующее положению в пространстве самой прямой, а горизонтальная и фронтальная проекции совпадают с одной и той же вертикальной линией связи, так как

XA - ХВ = 0 (рис. 2.4, б).

Отрезок [EF] профильной прямой и углы наклона ее соответственно к плоскостям П1 и П2 проецируются на профильную плоскость П3 без искажения:

		[EF] || П3 |E3F3| = |EF|.
а	б	Профильная прямая в
		системе плоскостей про-
		екций П1/П2 всегда зада-
Рис. 2.4		ется проекциями отрезка.

2.4Проецирующие прямые

Рассмотрим прямые, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций. В системе трех плоскостей проекций возможны три типа проецирующих прямых.

Горизонтально проецирую-

щая прямая – перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций П1 (рис. 2.5, а) и параллельна одновременно двум другим плоскостям проекций П2 и П3. Горизонтальная проекция этой прямой вырождается в точку, а фронтальная проекция

n2(А2В2) перпендикулярна к оси х							а	б
(рис. 2.5, б).							Рис. 2.5
Фронтально				проецирующая
прямая		–	перпендикулярна			к
фронтальной плоскости					проек-
ций П2, а следовательно, парал-
лельна		одновременно П1			и	П3
(рис. 2.6, а). Здесь фронтальная
проекция прямой вырождается в
точку, а горизонтальная проек-
ция m1(С1D1) перпендикулярна к
оси х (рис. 2.6, б).							а	б
Профильно				проецирующая
							Рис. 2.6
прямая		–	перпендикулярна			к
профильной плоскости проекций П3							и параллельна плоскостям П1		и
П2 (рис. 2.7, а). Она имеет профильную проекцию в виде точки, а ее
горизонтальная и				фрон-
тальная		проекции		парал-
лельны оси х (рис. 2.7, б).
Очевидно, что про-
ецирующие прямые, па-
раллельные одновременно
двум	плоскостям			проек-
ций,	представляют собой
частный		случай		прямых
уровня (прямые уровня по						а		б
отношению к двум плос-
костям проекций).							Рис. 2.7

Точки, принадлежащие одной и той же проецирующей прямой, называются конкурирующими относительно плоскости проекций, к которой перпендикулярна данная прямая. Конкуренция точек рассматривается в отношении их удаленности от соответствующей плоскости проекций, а следовательно, их видимости на чертеже.

Рассмотрим на прямой n П1 точки А и В, причем: XA = ХВ, YB = УA и ZB > ZA, т. е. точка В расположена выше точки А (см.

рис. 2.5, б). Такие точки называются горизонтально конкурирующими.

В соответствии с этим точки C и D, принадлежащие прямой m П2 (см. рис. 2.6, б), называются фронтально конкурирующими, а

точки M и N (см. рис. 2.7, б), принадлежащие прямой ℓ П3, – про-

фильно конкурирующими.

Сравнивая горизонтальные проекции С1 и D1 точек С и D, видим, что точка D расположена перед точкой С (по отношению к наблюдателю, стоящему перед плоскостью П2). По аналогии точка N находится дальше от плоскости П3, чем точка M. Конкурирующие точки используют для определения видимости проекций геометрических фигур на комплексных чертежах.

2.5Принадлежность точки прямой

Точка может принадлежать прямой линии или находиться вне

прямой.
	Если точка принадлежит прямой, то
	все проекции точки принадлежат одно-
	именным проекциям прямой. Если точка
	не принадлежит прямой, то, по крайней
	мере, одна из ее проекций не принадлежит
	одноименной проекции прямой.
	На рис. 2.8 прямой а принадлежит
	только точка В. Точки А, С, D и E не при-
	надлежат прямой a, причем точка А рас-
	положена перед ней, точка D – над пря-
	мой, а точка E находится в третьей чет-
Рис. 2.8	верти пространства.

Задача. Отрезок [АВ] разделить точкой С в отношении 1:3. Решение приведено на рис. 2.9. Из точ-

ки А1 проводим под произвольным углом луч и откладываем на нем четыре (1+3) масштабных отрезка. Отмечаем соответственно точки С0 и В0. Соединяем отрезком точки В1 и В0, а через С0 проводим прямую, параллельную В1В0, до пересечения с А1В1. Получим проекцию С1. Затем, проведя линию связи,

находим фронтальную проекцию точки С2	на
фронтальной проекции отрезка А2В2.	Рис. 2.9

2.6Следы прямой

Следом прямой называется точка пересечения прямой линии с плоскостью проекций.

По определению следы являются точками, принадлежащими одновременно прямой линии и одной из плоскостей проекций. Следовательно, одна из координат следа должна быть равна нулю.

В системе плоскостей П1/П2 прямая общего положения а имеет два следа (рис. 2.10, а):

Н – горизонтальный след, координата ZH = 0; F – фронтальный след, координата YF = 0.

а

б

Рис. 2.10

Для нахождения горизонтального следа фронтальную проекцию прямой а2 продолжают до пересечения с осью проекций x и находят фронтальную проекцию горизонтального следа Н2. Из точки Н2 восстанавливают линию связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой а1 и определяют горизонтальную проекцию горизонтального следа H1, которая совпадает с самим следом (H = H1)

(рис. 2.10, б).

Для нахождения фронтального следа прямой горизонтальную проекцию а1 продолжают до пересечения с осью х, находят горизонтальную проекцию фронтального следа F1, проводят через нее вертикальную линию связи до пересечения с фронтальной проекцией прямой а2, где отмечают фронтальную проекцию фронтального

следа F2 (F = F2).

По положению точек H и F можно судить, через какие четверти пространства проходит данная прямая.

Прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

2.7Определение длины отрезка прямой линии

иуглов его наклона к плоскостям проекций

Прямая линия может быть наклонена к плоскостям проекций под некоторыми углами.

Углом между прямой и плоскостью называется угол, образуемый прямой и ее прямоугольной проекцией на эту плоскость.

В общем случае длина каждой из проекций отрезка на чертеже всегда меньше длины самого отрезка. Если обозначить углы между прямой, содержащей отрезок, и плоскостями проекций П1, П2, П3 соответственно α, β, γ, получим следующие соотношения:

А1В1 = |АВ|·cos α; А2В2 = |АВ|·cos β; А3В3 = |АВ|·cos γ.

Рассмотрим частный случай, когда отрезок параллелен плоскости проекций.

Отрезок [AB] параллелен плоскости П1 (рис. 2.11). Он проецируется на горизонтальную плоскость без искажения:

	[AB] П1 |А1В1| = |АВ|;
Рис. 2.11	(А1В1^х) = (АВ^П2) = β.

Отрезок [CD] параллелен фронтальной плоскости проекций П2 (рис. 2.12). Тогда отрезок проецируется на фронтальную плоскость без искажения:

[CD] || П2 |C2D2| = |CD|; (C2D2^х) = (CD^П1) = α.

	Отрезок [EF], параллельный про-
	фильной плоскости проекций, проеци-	ру-
	ется в натуральную величину	Рис. 2.12
	на плоскость П3 (рис. 2.13):
	[EF] || П3 |E3F3| = |EF|;
	(E3F3^y) = (EF^П1) = α;
	(E3F3^z) = (EF^П2) ) = β.
	Если отрезок занимает общее по-
	ложение в системе плоскостей проек-
	ций, то решение задачи усложняется.
	Тогда длину отрезка прямой и углы
	его наклона к плоскостям проекций
	можно определить методом прямо-
	угольного треугольника.	Рис. 2.13
	Построим ортогональную проекцию A1В1 отрезка [АВ] на
	плоскость П1 (рис. 2.14). В проецирующей	плоскости проведем

[АК] || [А1В1]. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВК. Длина одного его катета равна длине горизонтальной проекции отрезка [АВ], а второго – разности удаления концов отрезка [АВ] от плоскости П1:

|AК| = |A1B1|;

|BК| = |BB1| - |AA1| = ZB - ZA = z .
Искомый отрезок [АВ] является
гипотенузой этого треугольника, а
угол α - углом наклона [АВ] к
плоскости проекций П1. Треуголь-
ник, равный данному, можно по-
строить на комплексном чертеже –
треугольник A1B1В0.
На основании этих рассужде-
ний, аналогичных для любой плос-
кости проекций, можно сформули-
ровать правило.	Рис. 2.14

Правило прямоугольного треугольника. Для определения длины отрезка на комплексном чертеже строят прямоугольный треугольник, у которого один катет – проекция отрезка на одну из плоскостей проекций, а второй – разность расстояний от концов отрезка до этой же плоскости проекций. Угол между гипотенузой и катетом представляет собой угол наклона прямой к плоскости, на которой взята проекция отрезка.

Задача 2.7.1. Определить натуральную величину отрезка [АВ] и углы его наклона к плоскостям проекций.

Решение приведено на рис. 2.15. Построим вспомогательный пря-

	моугольный треугольник А1В1В0, од-
	ним катетом которого является гори-
	зонтальная проекция А1В1 отрезка, а
	другой катет равен разности координат
	z для точек А и В. Гипотенуза А1В0
	определяет натуральную величину от-
	резка АВ, угол В1А1В0 определяет ве-
	личину угла – угла наклона отрезка
	АВ к плоскости П1.
	Для определения величины угла
	наклона отрезка АВ к плоскости П2
	строим вспомогательный прямоуголь-
Рис. 2.15	ный треугольник А2В2А0 на фронталь-

ной проекции отрезка. Одним катетом треугольника является фронтальная проекция А2В2 отрезка, другой катет равен разности координат y для точек А и В. Повторно определяется длина отрезка АВ. Угол А2В2А0 определяет величину угла – угла наклона отрезка АВ к плоскости П2.

Задача 2.7.2. Отложить на прямой m от точки А отрезок АВ заданной длины ℓ (рис. 2.16).

Решение основано на задаче определения натуральной величины

отрезка.
1. Зададим на прямой m произ-
вольную точку К (ее проекции К1 и
К2) и определим длину отрезка АК
методом		прямоугольного	треуголь-
ника.
2.	На	построенной натуральной
величине отрезка АК – гипотенузе
А1К0 откладывается длина искомого
отрезка ℓ (точка В0) и строится соот-
ветствующая ей горизонтальная про-
екция	В1, после чего		находится	Рис. 2.16
фронтальная проекция В2.

2.8Взаимное положение двух прямых в пространстве

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересе-

кающимися и скрещивающимися.

Параллельные прямые – это прямые, расположенные в одной плоскости и не имеющие общих точек в пределах евклидова пространства. Одноименные проекции этих прямых обязательно параллельны между собой.

На рис. 2.17, а показаны проекции параллельных прямых общего положения, на рис. 2.17, б, в – параллельных прямых уровня.

а

б

в

Рис. 2.17

Пересекающиеся прямые – прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие общую точку. Точка пересечения одноименных проекций прямых обязательно принадлежит одной линии связи. На рис. 2.18, а представлены пересекающиеся прямые общего положения, на рис. 2.18, б - пересекающиеся профильные прямые уровня.

а

б

Рис. 2.18

Скрещивающиеся прямые – прямые, расположенные в разных плоскостях и не имеющие общих точек (рис. 2.19). Комплексные чертежи скрещивающихся прямых общего положения могут выглядеть, как показано на рис. 2.19, а, б. Скрещивающиеся профильные прямые уровня показаны на рис. 2.19, в.

а

б

в

Рис. 2.19