Тогда можно представить /4/ в виде

Или в векторном представлении: / 7/

/6/ и /7/ выражают основной закон динамики вращательного движения.

Выразим угловое ускорение из /7/:

/8/

Угловое ускорение прямо пропорционально полному моменту сил, приложенных к данному телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения.

Единицами измерения момента силы и момента инерции в СИ являются соответственно

7.3 Момент инерции тела

Момент инерции тела I характеризует инерцию тела при вращательном движении. Чем больше I тем меньше угловое ускорение  получит тело под действием данного момента силы М. Для тела с закрепленной осью вращения момент инерции представляет собой положительную скалярную величину.

Прямой способ вычисления момента инерции тела состоит в следующем: мысленно тело разбивают на совокупность материальных точек, записывают момент инерции i-той материальной точки, полный момент инерции получают суммированием элементарных моментов:

Рассмотрим несколько примеров :

7,4 Момент импульса /количества движения/, Закон сохранения

момента импульса.

Пусть на тело с закрепленной ось" вращения действует полный момент сил

М =  /1/

Если рассматривать конечный промежуток времени t, то мгновенный момент м должен быть заменен на средний момент сил Мср:

Откуда следует

Рассмотрим приращение величина носит название момент импульса тела. Учитывая, что можно записать:

Величина является моментом импульса i-той материальной точки. Момент импульса - это вектор, в частности . Направление этого вектора определяется правилом "правого винта" /буравчика/. Момент импульса тела представляет собой векторную /алгебраическую/ сумму:

/3/

Размерность момента импульса

Используя обозначение момента импульса, перепишем /2/ в виде:

/4/

Это равенство означает, что импульс момента сил, действующих на вращающееся тело, равен приращению момента импульса.

Если действующие силы таковы, что их суммарный /полный/ момент равен нулю, то момент импульса тела остается постоянным.

В замкнутой системе тел, вращающихся вокруг неподвижной оси,

будет постоянным полный момент импульса системы тел:

Эти положения представляют собой закон сохранения момента импульса. Закон сохранения момента импульса проявляется в известных явлениях природы, используется в технике, в физическом эксперименте.

Приведем несколько примеров.

а/ Когда кошка неожиданно для себя падает с большой высоты, она усиленно вращает хвостом в ту или иную сторону, добиваясь оптимального разворота своего тела для благоприятного падения.

б/ Человек перемещается по краю круглой, свободно вращающейся платформы: пусть моменты импульса платформы и человека соответственно равны L₁ и L₂, тогда, принимая систему замкнутой, получим

Т.е. угловые скорости вращения этих тел вокруг их общей оси будут обратны по знаку, а по величине - обратно пропорциональны их моментам инерции.

в/ Опыт со скамьей Жуковского. Человек, находящийся по середине скамьи и вращающийся вместе с платформой, притягивает к себе грузы. Пренебрегая трением в опорных подшипниках, считаем момент силы равным нулю:

г/ при фигурном катании на коньках спортсмен, выполняя вращение, складывается и при этом ускоряет свое вращение.

д/ Гироскопы - устройства, принцип действия которых основан на законе сохранения момента импульса тела:

Предназначены для фиксирования первоначально заданного направления в пространстве на объекте, который перемещается в произвольном направлении и неравномерно /космические ракеты, танки и др./

Энергетика свободных незатухающих колебаний. Причиной того, что колебания оказываются незатухающими, является допущение об отсутствии диссипативных процессов, т.е. факторов, приводящих к рассеянию энергии, например, сопротивления окружающей среды.

Поскольку в данной колебательной системе отсутствуют неконсервативные силы, то должен выполняться закон сохранения механической энергии:

В данном случае

Таким образом, полная энергия колебательной системы пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату частоты колебаний.