9. Волны

9.1 Общая характеристика волнового процесса. Параметры

волны.

Если в каком-либо месте упругой среды возбудить колебания, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание начнет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Это волна. Волна в отличие от простой колебательной системы характеризуется не только периодичностью во времени, но и периодичностью в пространстве. Частицы среды при этом не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению распространения волны различают продольные и поперечные волны. Механические поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу, т.е. конечным модулем сдвига. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно распространение только продольных волн.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности могут иметь различную геометрию. 3 простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой систему параллельных друг другу плоскостей, а в сферической волне - систему концентрических сфер.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны . Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за один период:

/2/

Направление волны принято задавать с помощью волнового вектора.

Его направление совпадает с направлением вектора скорости :

Часто в акустике и оптике используется такое представление волнового

вектора /волнового числа/:

/4/

9.2 Уравнение плоской волны,

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение

колеблющейся точки, как функцию ее координат и времени, т.е.

Эта функция должна быть периодической как относительно t ,так и

относительно x, y, z. Найдем вид функции в случае плоской волны, распространяющейся в направлении оси х-ов. /см. рис./ Пусть плоская стенка совершает гармонические колебания

В интересующую нас точку x фронт волны придет спустя время

поэтому в этой точке частицы будут совершать то же колебание, что и в точке х :

Формула /1/ представляет собой уравнение прямой бегущей волны, т.е.

распространяющейся в направлении положительной полуоси х-ов. Уравнение обратной волны получим путем замены х на - х:

9.3 Волновое уравнение

Оказывается, что уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции /уравнения волны/