41.Формула Лейбница.

Если функ-я y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x)-какая-либо ее первообразная на [a;b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула dx = F(b)-F(a). Если ввести обозначения F(b)-F(a)=F(x) , то фор-лу можно переписать так: dx = F(x) =F(b)-F(a). Формула Н.Л. дает удобный способ вычисления определенного интеграла. Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции f(x) на отрезке [a;b], надо найти ее первообразную функцию F(x) и взять разность F(b)-F(a) значений этой первообразной на концах отрезка [a;b].

42. Определение касательной и нормали к плоской кривой. Вывод их уравнений.

Касательной к данной кривой в данной на ней точке M₀ называется предельное положение секущей при условии, что точка M₁, перемещаясь по этой кривой, неограниченно приближается к точке M₀.

Рассм. M₀CM₁: M₀(x₀;y₀) M₁(x₁,y₁)

tg=M₁C/M₀C M₀C=x₁-x₀=x M₁C=y₁-y₀=y

Нормалью данной кривой в данной на ней точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной в этой точке.

43) Дифференциал. Определение. Геометрический смысл

y=f(x)

Д еференцалом функции y=f(x) называют произведение производной на приращение аргумента.

Деференцыал есть приращение аргумента касательной проведенной в данной точке исслед. Функции

где E- б. при d при

Док-во:

и

большего порядка, чем

б. м. ф. более высокого порядка чем

Приращение деференциалов приблизительно.

53) Формула Тейлора.

1)Для многочлена:

Пусть фун-я f(x) есть многочлен P_n(x) степени n:

f(x) = P_n(x) = a0+a1x+a2x²+…+a_nxⁿ – Преоб-ем этот многочлен также в мн-н степени n относ-но разности x-x0, где x0 – произвол-е число т.е. представим Pn(x) в виде:

Pn(x) = A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)²+…+An(x-x0)ⁿ (*)

(x) = A1+2A2(x-x0)+3A3(x-x0)²+…+nAn(x-x0)^n-1

(x) = 2A2+23A3(x-x0)+…+n(n-1)An(x-x0)^n-2

…………………………………..

(x) = n(n-1)(n-2)…21An.

Pn(x0) = A0  A0 = Pn(x0),

(x) = A1 A1 = (x)/1!

(x) = 2A2  A2= (x)/2!

……………………………………

(x0)  An= (x0)/n!

Pn(x) = Pn(x0)+ (x-x0)+ (x-x0)²+…+ (x-x0)ⁿ – Ф-ла Тейлора.

2)Для произвольной функции.

f(x) = f(x0)+ (x-x0)+ (x-x0)²+…+ (x-x0)ⁿ+Rn(x),

где Rn(x) – остаточный член фор-лы Тейлора записанным в форме Лагранжа:

Rn(x) = (x-x0)ⁿ⁺¹ c лежит м/д 0 и x

Rn(x) – есть погрешность приближенного равенства f(x)  Pn(x).  ф.Т-ра. Дает возможность заменить ф. y = f(x) многоч-ом y = Pn(x) с соответ-щей степен. точности,

Равной знач-ю остат-го члена Rn(x).

При x0=0 получаем частный случай ф.Тейлора – ф.Маклорена:

f(x) = f(0)+ x²+…+ xⁿ+ xⁿ⁺¹,

где c находится м/д 0 и x (c = x, 0<<1).

60. Асимптоты кривой. Вертикальные, наклонные. Условия их существования.

Асимптотой данной кривой называется такая прямая, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

Вертикальные асимптоты - асимптоты, параллельные оси ординат. Если функция f(x) в точке x₀ имеет бесконечный разрыв, то уравнение x=x₀ есть уравнение вертикальной асимптоты графика этой функции.

Наклонные (невертикальные) асимптоты - асимптоты, не параллельные оси oy. Кривая, заданная уравнением y=f(x) имеет невертикальную асимптоту, определяемую уравненем y=kx+b, тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

и

(или соответственно при x-)