Ограничения формализации

В 1931 г. Курт Гедель (1906-1978). В 1931 г. в статье «О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных систем» Гёдель доказал теорему о неполноте: если система Z (содержащая арифметику натуральных чисел) непротиворечива, то в ней существует такое предложение А, что ни само А, ни его отрицание не могут быть доказаны сред­ствами Z. На примере анализа формальной системы, сформулиро­ванной в фундаментальном трехтомном труде англ. математиков и логиков А. Уайтхеда и Б. Рассела «Principia Mathematical, Гёдель показал, что в достаточно богатых содержательных нормальных системах имеются неразрешимые предложения, т. е. предло­жения, которые недоказуемы и одновременно неопровержимы. Значение теоремы Геделя состоит в том, что она показала неосуществимость программы формализации математики, выдвинутой немецким ма­тематиком Д. Гильбертом. Как показывает Гедель, даже арифметику натуральных чисел невозможно формализовать полностью, ибо в формализованной арифметике существуют истинные предложе­ния, которые оказываются неразрешимыми. С философско-методологической точки зрения значение его теорема заключается в том, что она показывает невозможность полной формализации человечес­кого знания.

Математическое моделирование

Моделирование - метод исследования объектов на их моделях (на основе аналогии). Модель (лат. — мера, образец, норма) — в логике и методо­логии науки — аналог определенного фрагмента реальности, по­рождения человеческой культуры, концептуально-теоретичееких образов и т. п. — оригинала модели. Этот аналог — «представи­тель», «заместитель» оригинала в познании и практике. Он слу­жит для хранения и расширения знания (информации) об ориги­нале, конструирования оригинала, преобразования или управле­ния им.

Между моделью и оригиналом должно существовать извест­ное сходство (отношение подобия): физических характеристик, функций; поведения изучаемого объекта и его математического описания; структуры и др. Именно это сходство и позволяет пере­носить информацию, полученную в результате исследования мо­дели, на оригинал.

Формы моделирования разнообразны и зависят от используе­мых моделей и сферы применения моделирования. По характеру моделей выделяют материальное (предметное) и идеальное мо­делирование, выраженное в соответствующей знаковой форме. Материальные модели являются природными объектами, подчи­няющимися в своем функционировании естественным законам — физики, механики и т. п. При физическом (предметном) модели­ровании конкретного объекта его изучение заменяется исследова­нием некоторой модели, имеющей ту же физическую природу, что и оригинал (модели самолетов, кораблей и т. п.). При идеаль­ном (знаковом) моделировании модели выступают в виде схем, графиков, чертежей, формул, системы уравнений, предложений естественного и искусственного (символы) языка и т. п. В насто­ящее время широкое распространение получило математическое (компьютерное) моделирование.

Математическая модель представляет собой абст­рактную систему, состоящую из набора математичес­ких объектов. В самом общем виде под математически­ми объектами современная философия математики подразумевает множества и отношения между множе­ствами и их элементами.

В простейшем случае в качестве модели выступа­ет отдельный математический объект, т. е. такая фор­мальная структура, с помощью которой можно от эм­пирически полученных значений одних параметров исследуемого материального объекта переходить к значению других без обращения к эксперименту. На­пример, измерив окружность шарообразного предме­та, по формуле объема шара вычисляют объем данно­го предмета.

Очевидно, ценность математической модели для конкретных наук и технических приложений состоит в том, что благодаря восполнению ее конкретно-физи­ческим или каким-либо другим предметным содержа­нием она может быть применена к реальности в каче­стве средства получения информации..

По существу, любая математическая структура (или абстрактная система) приобретает статус модели только тогда, когда удается констатировать факт опре­деленной аналогии структурного, субстратного или функционального характера между нею и исследуемым объектом (или системой). Другими словами, должна существовать известная согласованность, получаемая в результате подбора и «взаимной подгонки» модели и соответствующего «фрагмента реальности». Указанная согласованность существует лишь в рамках определен­ного интервала абстракции. В большинстве случаев аналогия между абстрактной и реальной системой связана с отношением изоморфизма между ними, оп­ределенным в рамках фиксированного интервала аб­стракции.

Для того, чтобы исследовать реальную систему, мы замещаем ее (с точностью до изоморфизма) абстракт­ной системой с теми же отношениями; таким образом задача становится чисто математической. Например, чертеж может служить моделью для отображения гео­метрических свойств моста, а совокупность формул, положенных в основу расчета размеров моста, его прочности, возникающих в нем напряжений и т.д., может служить моделью для отображения физических свойств моста.