- •Кафедра физики и высшей математики
- •Часть I
- •Лекция 1. Определители и матрицы
- •1.1. Матрицы: основные сведения
- •1.2. Определители: их вычисление и свойства
- •Определители второго порядка вычисляют по формуле
- •1.3. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •1.4. Системы линейных уравнений
- •1.4.1. Метод Крамера
- •1.4.2. Метод обратной матрицы
- •1.4.3. Метод Гаусса
- •Лекция 2. Векторы
- •2.1. Геометрические векторы
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2.3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Разложение вектора по осям координат
- •2.5. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
- •2.6. Скалярное произведение двух векторов
- •2.8. Алгебраический подход к понятию n-мерного вектора
- •2.9. Линейная зависимость векторов
- •Лекция 3. Плоскость и прямая
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •3.3. Прямая в пространстве r3
- •3.4. Две важные задачи аналитической геометрии
- •3.5. Прямая на плоскости
- •Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.
- •Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим
- •3.6. Угол между двумя прямыми на плоскости
- •3.7. Площадь треугольника
- •Лекция 4. Введение в анализ
- •4.1. Функция
- •4.2. Предел
- •4.3. Предел переменной величины
- •4.4. Предел функции
- •4.5. Бесконечно малые и их основные свойства
- •4.6. Основные теоремы о действиях с пределами
- •4.7. Сравнение бесконечно малых
- •4.8. Два замечательных предела
- •4.9. Непрерывность функции
- •4.9.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •4.9.2. Непрерывность функции в точке
- •4.9.3. Свойств непрерывной на отрезке функции
- •4.10. Некоторые приемы раскрытия неопределенностей вида или при вычислении пределов функции
- •Лекция 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Производная
- •5.2. Механический смысл производной
- •5.3. Геометрический смысл производной
- •5.4. Дифференцируемость и непрерывность функции
- •5.5. Схема нахождения производной
- •5.6. Таблица производных основных элементарных функций
- •5.7. Правила дифференцирования элементарных функций
- •5.8. Производная сложной функции
- •5.9. Производная параметрически заданной функции
- •5.10. Неявная функция и ее дифференцирование
- •5.11. Дифференциал
- •5.12. Производные и дифференциалы высших порядков
- •5.13. Частные производные
- •5.14. Полный дифференциал
- •Лекция 6. Приложения производной к исследованию функций
- •6.1. Правило Лопиталя
- •6.2. Экстремум функции
- •6.2.1. Возрастание и убывание функции, его аналитические признаки
- •6.2.2. Точка максимума и минимума
- •6.2.3. Необходимое условие экстремума
- •6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума
- •6.3. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба
- •6.3.1. Необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика
- •6.4. Второй достаточный признак экстремума
- •6.5. Асимптоты
- •6.6. Схема общего исследования функции и построения ее графика
- •Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономическим специальностям. Часть I
3.5. Прямая на плоскости
При переходе от трехмерного пространства к двухмерному, то есть к плоскости, третья координата точек или векторов обращается в нуль. Пусть это будет аппликата z = 0. Тогда из формулы (3.6) получим или . Раскрывая скобки и перенося все слагаемые в левую часть равенства, получим . Обозначив n=А, -m=B, , придем к уравнению
, (3.11)
которое называется общим уравнением прямой. По форме оно аналогично общему уравнению плоскости. Здесь - нормальный вектор прямой. Исследование уравнения (3.11) аналогично исследованию общего уравнения плоскости (3.2).
Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.
Если А =0, В 0, С 0, то прямая параллельна оси Ох.
Если А = 0, В 0, С = 0, то или у = 0 – уравнение оси Ох.
Если А 0, В = 0, С 0, то прямая или параллельна оси Оу.
Если А 0, В = 0, С = 0, то или х = 0 – уравнение оси Оу.
Если А 0, В 0, С = 0, то прямая проходит через начало координат.
Из уравнения (3.8) получим уравнение прямой, проходящей через две данные точки
(3.12)
Запишем это уравнение в виде
(3.13)
Рассмотрим рис. 3.9, на котором изображено общее расположение прямой, проходящей через две данные точки и , и пересекающей обе оси координат. Угол между положительным направлением оси Ох и прямой, взятый против часовой стрелки, называется углом наклона прямой. Тангенс угла наклона называется угловым коэффициентом прямой. Так как прямая параллельна оси Ох, то - прямоугольный и отношение
(3.14)
Тогда уравнение (3.13) можно записать так
(3.15)
В этом вид называется уравнением прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k. Если k величина не фиксированная, а переменная, то уравнение (3.15) называется уравнением пучка прямых, проходящих через данную точку.
Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим
Если обозначим величину , то уравнение запишется
(3.16)
В таком виде его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом. Легко видеть, что при х = 0 будет - отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, считая от начала координат, число k характеризует направление прямой, если k > 0, то угол наклона острый, а если k < 0, то угол наклона тупой.
Исследуем различные положения прямой в зависимости от наличия или отсутствия коэффициентов в уравнении (3.16).
Если k 0, b = 0, то прямая проходит через начало координат.
Если k = 0, b 0, то уравнение прямой, параллельной оси Ох. В частности, если k = b = 0, то у = 0 – уравнение оси Ох.
Уравнение вид есть уравнение прямой, параллельной оси Оу. В частности, - уравнение оси Оу.
Пусть в общем уравнении прямой все коэффициенты не равны нулю. Запишем его в виде и разделим почленно на –С 0. Получим или . Обозначив , , придем к уравнению
(3.17)
называемому уравнением прямой в отрезках. Здесь - отрезки отсекаемые прямой соответственно на осях Ох и Оу, считая от начала координат. Например, прямая отсекает на осях отрезки х = -2, у = 5.