1.2. Определители: их вычисление и свойства

Определитель – это числовая характеристика квадратной матрицы. Он состоит из элементов этой матрицы, обозначается символами , , или и вычисляется по правилам приведенным ниже.

Квадратная матрица Ее определитель

Рассмотрим основные свойства определителей, которые приводятся без доказательств, но легко проверяются на конкретных примерах:

1. Определитель не изменит своего значения, если, не меняя порядка, элементы строк сделать элементами соответствующих столбцов.

2. Если поменять местами элементы любых двух строк (столбцов), определитель поменяет знак на противоположный.

3. Если все элементы какой-либо строки (столбца) являются нулями, то такой определитель равен нулю.

4. Определитель, содержащий пропорциональные или одинаковые строки (столбцы) равен нулю.

5. Определитель не меняется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

6. Если все элементы любой строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это же число. Из этого следует, что общий множитель элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя.

7. Если элементы какой-либо строки (столбца) являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых в соответствующей строке (столбце) стоят первые слагаемые, а во втором - вторые слагаемые. При этом все остальные элементы строк (столбцов) всех трех определителей одинаковы.

Определители второго порядка вычисляют по формуле

(1.2)

Пример 1.1.

Пример 1.2.

Определитель n-го порядка можно представить в виде суммы n определителей n-1-го порядка по правилу, которое называется разложением определителя по элементам строки или столбца. Прежде чем сформулировать это правило, познакомимся с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента a_ij определителя D (или квадратной матрицы А) n-го порядка называется определитель n-1-гo порядка, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания i-й строки и j-гo столбца.

Минор элемента a_ij обозначается M_ij.

Для каждого элемента можно составить его минор. Таким образом, для определителя n-го порядка, имеющего элементов, можно составить миноров его элементов.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij (обозначается А_ij) определителя или квадратной матрицы есть минор M_ij этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j ,то есть .

Отсюда видно, что А_ij = M_ij, если сумма индексов четная, А_ij = ‒ M_ij, если сумма индексов нечетная.

Алгебраическое дополнение применяется для вычисления определителей по следующему правилу: определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения. Для i-й строки получим

(1.3)

Пример 1.3. Вычислить определитель D = .

Решение. Разложим определитель по элементам первой строки.

Миноры трех элементов 5, 4, 1 соответственно равны

; ;

Алгебраические дополнения

А₁₁=(-1)¹⁺¹13 = 13; А₁₂=(-1)¹⁺²(-17)=17; А₁₃=(-1)¹⁺³(-8) = -8.

Таким образом, по формуле (1.3) получим

D = 513+417 +1(-8)=125.

Проще вычислять определитель, совместив вычисление миноров и алгебраических дополнений, причем целесообразно разлагать определитель по элементам строки (столбца), содержащей нули, что сокращает вычисления.

Пример 1.4.

Разложение выполнено по последней строке, где есть нуль. Здесь данный определитель 3-го порядка равен сумме только двух определителей 2-го порядка. Таким же образом можно определитель 4-го порядка привести к сумме определителей 3-го порядка и так далее.

Пример 1.5. Вычислить определитель

Здесь определитель 4-го порядка разложен по элементам первой строки. Дальше определители 3-го порядка можно разложить по элементам строк, содержащих нули. Предлагается сделать это читателю.

Наиболее простой вид вычисление по формуле (1.4) принимает в тех случаях, когда в строке или столбце все элементы, кроме одного, равны нулю. К такому виду можно привести определитель, пользуясь его эквивалентными преобразованиями, вытекающими из свойств определителей.