- •Кафедра физики и высшей математики
- •Часть I
- •Лекция 1. Определители и матрицы
- •1.1. Матрицы: основные сведения
- •1.2. Определители: их вычисление и свойства
- •Определители второго порядка вычисляют по формуле
- •1.3. Действия над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •1.4. Системы линейных уравнений
- •1.4.1. Метод Крамера
- •1.4.2. Метод обратной матрицы
- •1.4.3. Метод Гаусса
- •Лекция 2. Векторы
- •2.1. Геометрические векторы
- •2.2. Линейные операции над векторами
- •2.3. Проекция вектора на ось
- •2.4. Разложение вектора по осям координат
- •2.5. Линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
- •2.6. Скалярное произведение двух векторов
- •2.8. Алгебраический подход к понятию n-мерного вектора
- •2.9. Линейная зависимость векторов
- •Лекция 3. Плоскость и прямая
- •3.1. Плоскость в пространстве
- •3.2. Взаимное расположение двух плоскостей
- •3.3. Прямая в пространстве r3
- •3.4. Две важные задачи аналитической геометрии
- •3.5. Прямая на плоскости
- •Если а 0, в 0, с 0, то прямая (3.11) пересекает обе координатные оси.
- •Раскрывая скобки в уравнении (3.15), получим
- •3.6. Угол между двумя прямыми на плоскости
- •3.7. Площадь треугольника
- •Лекция 4. Введение в анализ
- •4.1. Функция
- •4.2. Предел
- •4.3. Предел переменной величины
- •4.4. Предел функции
- •4.5. Бесконечно малые и их основные свойства
- •4.6. Основные теоремы о действиях с пределами
- •4.7. Сравнение бесконечно малых
- •4.8. Два замечательных предела
- •4.9. Непрерывность функции
- •4.9.1. Приращение аргумента и приращение функции
- •4.9.2. Непрерывность функции в точке
- •4.9.3. Свойств непрерывной на отрезке функции
- •4.10. Некоторые приемы раскрытия неопределенностей вида или при вычислении пределов функции
- •Лекция 5. Дифференциальное исчисление
- •5.1. Производная
- •5.2. Механический смысл производной
- •5.3. Геометрический смысл производной
- •5.4. Дифференцируемость и непрерывность функции
- •5.5. Схема нахождения производной
- •5.6. Таблица производных основных элементарных функций
- •5.7. Правила дифференцирования элементарных функций
- •5.8. Производная сложной функции
- •5.9. Производная параметрически заданной функции
- •5.10. Неявная функция и ее дифференцирование
- •5.11. Дифференциал
- •5.12. Производные и дифференциалы высших порядков
- •5.13. Частные производные
- •5.14. Полный дифференциал
- •Лекция 6. Приложения производной к исследованию функций
- •6.1. Правило Лопиталя
- •6.2. Экстремум функции
- •6.2.1. Возрастание и убывание функции, его аналитические признаки
- •6.2.2. Точка максимума и минимума
- •6.2.3. Необходимое условие экстремума
- •6.2.4. Достаточные признаки существования экстремума
- •6.3. Признаки выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба
- •6.3.1. Необходимые и достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика
- •6.4. Второй достаточный признак экстремума
- •6.5. Асимптоты
- •6.6. Схема общего исследования функции и построения ее графика
- •Лекции для студентов высших учебных заведений, обучающихся заочно по экономическим специальностям. Часть I
4.7. Сравнение бесконечно малых
Пусть несколько бесконечно малых , , , … являются функциями одного и того же аргумента x и стремятся к нулю при или . Будем рассматривать их отношения, пользуясь следующими определениями:
1. Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка.
2. Если , (а ), то называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с , а - бесконечно малой низшего порядка, по сравнению с .
3. Если , то и - эквивалентные бесконечно малые, т.е.: .
4.8. Два замечательных предела
1) Предел функции при .
Ф ункция не определена при x = 0, так как числитель и знаменатель дроби обращается в нуль. Такое выражение называют неопределенностью вида . Найдем предел этой функции при . Рассмотрим окружность радиуса 1 (рис. 4.2). Обозначим центральный угол МОА через x, где . Непосредственно из рисунка 4.2 видно, что площадь сектора МОА заключена между площадями треугольников МОА и СОА:
пл. МОА < пл. сект. МОА < пл. СОА
или , или после сокращения на , .
Разделив почленно на , получим или . Переходя к пределу при и учитывая, что , и , видим, что переменная заключена между величинами, имеющими один и тот же предел 1. Тогда, на основании теоремы 5 о действиях с пределами имеем
(4.1)
Отсюда следует, что sin x x (sin x эквивалентен х) при .
Число е. Натуральные логарифмы. Экспонента.
Теорема. Функция стремится к числу е при , то есть
, (4.2)
где число е 2,718281828… Во многих случаях достаточным является приближение е 2,72. Это число прочно вошло в математику и широко используется.
Логарифмы с основанием е называют натуральными логарифмами и обозначают символом ln. Если , то
(4.3)
Связь между десятичными и натуральными логарифмами выражается следующей формулой перехода
(4.4)
где число называется модулем перехода.
Еще одним приложением числа е является показательная функция с основанием е – экспонента:
(4.5)
Функции и табулированы, то есть существуют их таблицы.
4.9. Непрерывность функции
4.9.1. Приращение аргумента и приращение функции
П усть функция определена в точке х = х0 и некоторой ее окрестности с центром в точке х0. Пусть . Если х получит некоторое (положительное или отрицательное) приращение х и станет равен , то и функция у получит некоторое приращение у. Новое приращенное значение функции будет (рис. 4.5). Итак, разность - приращение аргумента; разность - приращение функции.
4.9.2. Непрерывность функции в точке
Функция называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и некоторой ее окрестности и если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть
(4.6)
Пример 4.3. Докажем, что функция непрерывна в любой точке х0. Имеем . Тогда . Пользуясь условием (4.6), найдем предел . Это и доказывает непрерывность функции.
Можно доказать, что всякая элементарная функция непрерывна в той точке, в которой она определена. Условие непрерывности (4.6) можно записать и так , где - постоянная величина, откуда . Приращение , если и тогда . Таким образом получим . Но , следовательно, . Иначе говоря, для того, чтобы найти предел непрерывной функции при , достаточно в выражение функции подставить , что мы уже делали в примерах 4.1 и 4.2.
Пример 4.4. Функция непрерывна в любой точке и потому .
Если функция определена в точке и ее окрестности и если , то она непрерывна в точке .
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а, b) и непрерывна на концах этого интервала справа и слева, то она называется непрерывной на отрезке [а, b].
Разрывы функций делят на разрывы первого и второго ряда. Если , , а не существует – то в точке испытывает разрыв первого рода типа скачок.
Пример: в точке .
Если ,а в - не существует, то функция в точке испытывает устранимый разрыв первого рода.
Пример: в точке .
Разрыв, не являющийся не являющийся разрывом первого рода, называют разрывом второго рода.
Примеры:
при , (1)
или
при . (2)
Такие разрывы как (2) ( ) называют бесконечными.