1. Классическое и статистическое определение вероятности событий. Вероятностью случайного события А в данном испытании называется число, обозначаемое р(А) и вычисляемое по формуле: р(А)=m\n. (где n-число всех возможных элементарных событий А1….Аn, а m-число тех элементарных событий из всех возможных, которые благоприятствуют появлению события А. Для любого события А справедливо неравенство: 0 < P(A) <1

Ситуация, когда полную группу составляют равновозможные события, называется классической. Поэтому определение вероятности по формуле р(А)=m\n, опирающееся на такое условие, называется классическим определением вероятности. В остальных случаях используют понятие «частоты» появления события А при проведении испытания.

Частотой р(А) появления события А (или статистической вероятностью события А) в серии П одинаковых независимых испытаний называется отношение m\n, где m-число испытаний, в которых наступило событие А.

2. Дискретная случайная величина: определение, закон распределения и функции распределения.

Случайной, называется величина, принимающая в результате испытания только одно значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Случайная величина Х называется дискретной, если в результате испытания она принимает одно из конечного или бесконечного множества значений х1,х2,…..

Случайная величина называется непрерывной, если множество ее значений заполняет полностью некоторый промежуток (a;b).

Законом распределения дискретной случайной величины называется зависимость между возможными значениями Хk (k=1,2,…) дискретной случайной величины и их вероятностями Pk (k=1,2,…).

1)Закон распределения может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указывают все возможные значения Хк случайной величины Х , расположенные в возрастающем порядке, а во второй строке- вероятности Рк этих значений.

2)Закон распределения может быть задан графически, в виде многоугольника распределения вероятностей, когда в прямоугольной системе координат строят ломаную линию, называемую многоугольником распределения, соединяющую последовательно точки с координатами.

3) Закон распределения может быть задан аналитически, с помощью формул:

Рк=Р(Х=х)= «фи»(Хк), к=1,2,…

Биноминальным назыв. Закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в n одинаковых независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна Р, если вероятность Р(Х=к) появления события А равно к, раз вычисляется по формуле Бернулли.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта N раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q=1-p. Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

.

При стремлении   к бесконечности произведение np остаётся равной константе  , а закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

.

Функция распределения вероятности дискретной случайной величины Х, обозначаемой F(х),называется функция, определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х:

F(x)=P(X<x).

Свойства функции распределения:

1. Определена при х принадлежит промежутку от минус бесконечности к плюс бесконечности. (записать как формулу)

2. F(x) больше или рравен нулю и меньше или равен 1.

3. F(x) – неубывающая функция на (- беск;+ беск)

4. F(x)-непрерывна слева в точках Х=Хк (к=1,2,…) и непрерывна во всех остальных точках.

3.Числовые характеристики дискретной случайной величины, их свойства и формулы для их вычисления

Определение: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

М(Х)=∑ x_iр_i= x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

Замечание 1. При большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины X близко к ее математическому ожиданию M(X): оно стремится к M(X) при неограниченном возрастании числа испытаний.

Свойства математического ожидания:

1.

2.

3.

4.

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M(X-M(X))²

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С - постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х - случайная величина;

3)D(C•X)=C²•D(X), где С - постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X) = M(X²)-(M(X))²,

_n

где М(Х)=∑ x_i²р_i= x₁²р₁ + x₂²р₂+…+ x_n²р_n

ⁱ⁼¹

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии: