4 Задача о замене оборудования динамического программирования

Решить задачу о замене оборудования динамического программирования.

В начале планового периода продолжительностью в N лет имеется оборудование возраста t. Известны стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется:

1) пользуясь функциональными уравнениями, составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за N лет;

2) сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов t и t₁ лет в плановом периоде продолжительностью соответственно N и N₁ лет.

Исходные данные представлены в таблицах 8 и 9.

Таблица 8

N	N1	t	t1	S	p
10	8	7	1	0	10

Таблица 9

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
r(t)	20	20	20	19	19	18	18	17	17	16	15
u(t)	10	11	12	12	13	13	14	14	15	15	15

В зависимости от выбранного управления по-разному будет вычисляться целевая функция:

Из данной формулы видно, что в случае замены оборудования каждый раз мы будем получать одно и то же значение Z. Вычислим его:

.

Сведем все решения задачи в табл. 10-19.

Таблица 10 Таблица 11

1	С	1	9	2	8	17	17
	З	0	0	1	9	9	-
2	С	2	8	3	7	15	15
	З	0	0	1	9	9	-
3	С	3	7	4	6	13	13
	З	0	0	1	9	9	-
4	С	4	6	5	5	11	11
	З	0	0	1	9	9	-
5	С	5	5	6	4	9	9
	З	0	0	1	9	9	-
6	С	6	4	7	3	7	-
	З	0	0	1	9	9	9
7	С	7	3	8	2	5	-
	З	0	0	1	9	9	9
8	С	8	2	9	1	3	-
	З	0	0	1	9	9	9
9	С	9	1	10	0	1	-
	З	0	0	1	9	9	9
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	0	1	9	9	9

1	С	1	9	9
	З	0	0	-
2	С	2	8	8
	З	0	0	-
3	С	3	7	7
	З	0	0	-
4	С	4	6	6
	З	0	0	-
5	С	5	5	5
	З	0	0	-
6	С	6	4	4
	З	0	0	-
7	С	7	3	3
	З	0	0	-
8	С	8	2	2
	З	0	0	-
9	С	9	1	1
	З	0	0	-
10	С	10	0	0
	З	0	0	-

Таблица 12 Таблица 13

1	С	1	9	2	21	30	30
	З	0	0	1	24	24	-
2	С	2	8	3	18	26	26
	З	0	0	1	24	24	-
3	С	3	7	4	17	24	24
	З	0	0	1	24	24	-
4	С	4	6	5	17	23	-
	З	0	0	1	24	24	24
5	С	5	5	6	17	22	-
	З	0	0	1	24	24	24
6	С	6	4	7	17	21	-
	З	0	0	1	24	24	24
7	С	7	3	8	17	20	-
	З	0	0	1	24	24	24
8	С	8	2	9	17	19	-
	З	0	0	1	24	24	24
9	С	9	1	10	17	18	-
	З	0	0	1	24	24	24
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	0	1	24	24	24

1	С	1	9	2	15	24	24
	З	0	0	1	17	17	-
2	С	2	8	3	13	21	21
	З	0	0	1	17	17	-
3	С	3	7	4	11	18	18
	З	0	0	1	17	17	-
4	С	4	6	5	9	15	-
	З	0	0	1	17	17	17
5	С	5	5	6	9	14	-
	З	0	0	1	17	17	17
6	С	6	4	7	9	13	-
	З	0	0	1	17	17	17
7	С	7	3	8	9	12	-
	З	0	0	1	17	17	17
8	С	8	2	9	9	11	-
	З	0	0	1	17	17	17
9	С	9	1	10	9	10	-
	З	0	0	1	17	17	17
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	0	1	17	17	17

Таблица 14 Таблица 15

1	С	1	9	2	32	41	41
	З	0	0	1	35	35	-
2	С	2	8	3	31	39	39
	З	0	0	1	35	35	-
3	С	3	7	4	30	37	37
	З	0	0	1	35	35	-
4	С	4	6	5	30	36	36
	З	0	0	1	35	35	-
5	С	5	5	6	30	35	35
	З	0	0	1	35	35	-
6	С	6	4	7	30	34	-
	З	0	0	1	35	35	35
7	С	7	3	8	30	34	-
	З	0	0	1	35	35	35
8	С	8	2	9	30	33	-
	З	0	0	1	35	35	35
9	С	9	1	10	30	31	-
	З	0	0	1	35	35	35
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	0	1	35	35	35

1	С	1	9	2	26	35	35
	З	0	0	1	30	30	-
2	С	2	8	3	24	32	32
	З	0	0	1	30	30	-
3	С	3	7	4	24	31	31
	З	0	0	1	30	30	-
4	С	4	6	5	24	30	30
	З	0	0	1	30	30	-
5	С	5	5	6	24	29	-
	З	0	0	1	30	30	30
6	С	6	4	7	24	28	-
	З	0	0	1	30	30	30
7	С	7	3	8	24	27	-
	З	0	0	1	30	30	30
8	С	8	2	9	24	26	-
	З	0	0	1	30	30	30
9	С	9	1	10	24	25	-
	З	0	0	1	30	30	30
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	0	1	30	30	30

Таблица 16 Таблица 17

1	С	1	9	2	45	54	54
	З	0	0	1	48	48	-
2	С	2	8	3	43	51	51
	З	0	0	1	48	48	-
3	С	3	7	4	41	48	48
	З	0	0	1	48	48	-
4	С	4	6	5	41	47	-
	З	0	0	1	48	48	48
5	С	5	5	6	41	46	-
	З	0	0	1	48	48	48
6	С	6	4	7	41	45	-
	З	0	0	1	48	48	48
7	С	7	3	8	41	44	-
	З	0	0	1	48	48	48
8	С	8	2	9	41	43	-
	З	0	0	1	48	48	48
9	С	9	1	10	41	42	-
	З	0	0	1	48	48	48
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	0	1	48	48	48

1	С	1	9	2	39	48	48
	З	0	0	1	41	41	-
2	С	2	8	3	37	45	45
	З	0	0	1	41	41	-
3	С	3	7	4	36	43	43
	З	0	0	1	41	41	-
4	С	4	6	5	35	41	41
	З	0	0	1	41	41	-
5	С	5	5	6	35	40	-
	З	0	0	1	41	41	41
6	С	6	4	7	35	39	-
	З	0	0	1	41	41	41
7	С	7	3	8	35	38	-
	З	0	0	1	41	41	41
8	С	8	2	9	35	37	-
	З	0	0	1	41	41	41
9	С	9	1	10	35	36	-
	З	0	0	1	41	41	41
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	0	1	41	41	41

Таблица 18 Таблица 19

0	C	0	10	1	60	70	70
	З	0	1	1	60	60	-
1	С	1	9	2	56	65	65
	З	0	1	1	60	60	-
2	С	2	8	3	55	63	63
	З	0	1	1	60	60	-
3	С	3	7	4	54	61	61
	З	0	1	1	60	60	-
4	С	4	6	5	54	60	60
	З	0	1	1	60	60	-
5	С	5	5	6	54	59	-
	З	0	1	1	60	60	60
6	С	6	4	7	54	58	-
	З	0	1	1	60	60	60
7	С	7	3	8	54	57	-
	З	0	1	1	60	60	60
8	С	8	2	9	54	56	-
	З	0	1	1	60	60	60
9	С	9	1	10	54	55	-
	З	0	1	1	60	60	60
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	1	1	60	60	60

1	С	1	9	2	51	60	60
	З	0	1	1	54	54	-
2	С	2	8	3	48	56	56
	З	0	1	1	54	54	-
3	С	3	7	4	48	55	55
	З	0	1	1	54	54	-
4	С	4	6	5	48	54	54
	З	0	1	1	54	54	-
5	С	5	5	6	48	53	-
	З	0	1	1	54	54	54
6	С	6	4	7	48	52	-
	З	0	1	1	54	54	54
7	С	7	3	8	48	51	-
	З	0	1	1	54	54	54
8	С	8	2	9	48	50	-
	З	0	1	1	54	54	54
9	С	9	1	10	48	49	-
	З	0	1	1	54	54	54
10	С	10	0	-	-	-	-
	З	0	1	1	54	54	54

Матрица максимальных прибылей (табл.20):

Таблица 20

Возраст	Годы планового периода
оборудования	1-10	2-10	3-10	4-10	5-10	6-10	7-10	8-10	9-10	10
t, лет	Максимальная прибыль
0	70	-	-	-	-	-	-	-	-	-
1	65	60	54	48	41	35	30	24	17	9
2	63	56	51	45	39	32	26	21	15	8
3	61	55	48	43	37	31	24	18	13	7
4	60	54	48	41	36	30	24	17	11	6
5	60	54	48	41	35	30	24	17	9	5
6	60	54	48	41	35	30	24	17	9	4
7	60	54	48	41	35	30	24	17	9	3
8	60	54	48	41	35	30	24	17	9	2
9	60	54	48	41	35	30	24	17	9	1
10	60	54	48	41	35	30	24	17	9	0

Стратегия оптимальной замены оборудования возраста t = 7 в плановом периоде продолжительностью N = 10 имеет вид:

Оптимальная политика предприятия по замене оборудования при t₁ = 1 и N₁ = 8:

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1 Деменкова Е.А., Деменков М.Е, Басовская А.А. Методы математического программирования: методические указания по выполнению расчётно-графической работы. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2009. - 36с.

17