ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ	4
РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОЙ СХЕМЫ ОСВОЕНИЯ ЛЕСОСЕКИ	6
2 ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ КОНКРЕТНОГО ПРОЦЕССА ИЛИ ОБЪЕКТА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ПУТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА	14
3 ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ	20
4 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СИМПЛЕКС−МЕТОДОМ	25
5 РАЗРАБОТКА ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ КОНКРЕТНЫМ ЦЕХОМ ПРЕДПРИЯТИЯ	29
6 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ и РЕШЕНИЕ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПЛАНА ПОСТАВОК ЛЕСОМАТЕРИАЛОВ В ПЛОТАХ С ПЛОТОСТОЯНОК ПОСТАВЩИКА НА РЕЙДЫ ЛЕСОЗАВОДОВ	36
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ	43

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время на передовых предприятиях механизация и автоматизация производственных процессов достигли высокого уровня. Дальнейшее эффективное развитие этих производств, особенно в условиях конкурентной борьбы, возможно при широком внедрении методов оптимизации. Методы оптимизации определяют порядок поиска оптимальных решений и иногда структуру технических средств, преимущественно ЭВМ, используемых для достижения этой цели. Эти методы получили развитие в последние сорок лет. В результате сложилась совокупность новых подходов и способов решения задач и планирования, проектирования и управления производственной деятельностью предприятия.

Методы исследования управляющей деятельности объектов и процессов изучает курс «Исследование операций». Предмет исследования операций включает методы построения математических моделей исследуемых процессов и разработку критериев качества их протекания, используемых при поиске оптимальных решений. Это в большей степени синтетическая наука, включающая математический, экономический, инженерно-технический и другие аспекты.

Цель исследования операций – количественное обоснование оптимальных решений.

Под операцией понимается совокупность действий, направленных на достижение поставленных целей. Цель операции – достижение заранее запланированного результата.

Показателем эффективности операции служит критерий оптимальности или ,иначе говоря, критерий качества ее протекания.

Выбор варианта, при котором критерий оптимальности достигает, в зависимости от поставленной цели, максимума или минимума, является оптимальным решением. Поиск оптимального решения обычно достигается путем математического моделирования операций и решения с привлечение математических методов и вычислительной техники.

Наряду с исследованием операций параллельно развиваются дисциплины «Системотехника» и «Теория оптимального управления».

Системотехника отличается от исследования операций широтой решаемых задач. Она рассматривает вопросы управления целыми отраслями, вопросы снабжения, обороны, гидрологические и экологические проблемы и т. д.

В «Теории оптимального управления» решаются те же задачи, что и в курсе «Исследование операций», но круг объектов значительно уже. Например, работа отдельных объектов (сплоточная машина, сортировочные устройства и т.д.), систем управления объектом (флотом, автомобильным транспортом и т.д.) и производственные процессы на уровне цехов и реже на уровне всего предприятия в целом.

1 ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОЙ СХЕМЫ РАЗРАБОТКИ ЛЕСОСЕКИ

Таблица1 Задание

N	Трак тор	Х, м	Y, м	QР, м^3	QМ, м^3	C1, руб	C2, руб	CЗ, руб	CР, руб	CМ, руб	NТ, чел	T, мин	T1, с	T2, с	S	Р
1	ЛТ-154	1500	500	2,5	190	5	0,4	35	3.9	8	2	420	1.64	1840	6	4

Разработка оптимальной схемы разработки лесосеки производится в два этапа.

1 Проверка целесообразности строительства дороги на лесосеке определяется условиями, при которых затраты, связанные со строительством, и затраты на трелевку к лесопогрузочным пунктам внутри контура лесосеки меньше или равны затратам на трелевку к лесопогрузочным пунктам, расположенным у существующей дороги, то есть:

(1)

где С₁,С₂ – стоимость строительства 1м уса, волока, руб.

L_y - протяженность уса или волока на лесосеке, м.

С_т – себестоимость содержания трелевочного трактора за смену (С_м) с заработной платой рабочих (С_р), обслуживающих его, руб.

Р₁, Р₂ – производительность трактора на трелевке леса к лесопогрузочному пункту в внутри контура лесосеки и к лесопогрузочному пункту у лесовозной дороги, м³/см.

С_а – удельная себестоимость вывозки единицы объема древесины на единицу длины пути, руб.

Q_л – запас леса на лесосеке, м³.

Сменная производительность трактора Р₁ и Р₂ выражаем:

(2)

(3)

где Т – продолжительность рабочей смены, мин.

- коэффициент использования времени за смену.

Q_р - средняя рейсовая нагрузка на машину, м³.

L_ср - среднее расстояние трелевки внутри контура лесосеки, м.

V_ср - средняя скорость движения трактора, м/с.

Т₂ – время набора и отцепки пачки хлыстов, с.

Величины Т, , Q_р, L_ср, V_ср и Т₂ в обоих случаях можно считать одинаковыми. С учетом этого, подставим значения Р₁ и Р₂ в неравенство (1) и преобразовав его, получим

(4)

Принимая С_т = С_м + С_р, = 0,85, V_{ср =} 1 / Т₁ и 60·С_а·Т· ·Q_р·V_ср = (0,1…0,2)С_т, получаем

где Т₁ – среднее время пробега 1м пути, с.

В тоже время действительный объем леса на лесосеке размером 1500 · 500 м, при запасе на 1 га 190 м³ равен

Q = 10^-4 · 1500·500 · 190 = 14250 м³.

Так как Q > Q_л (14250 м³ > 7012.2 м³ ), то строительство уса на лесосеке целесообразно.

За оптимальный или наиболее выгодный вариант схемы разработки лесосеки принимается такая схема, при которой сумма удельных денежных затрат на строительство усов, волоков, лесопогрузочных пунктов и затрат на трелевку была бы минимальной, то есть

(5)

где L_y, L_B - протяженность усов и волоков на лесосеке, м.

N - число лесопогрузочных площадок.

Р_см – сменная производительность трелевочного трактора, м³.

С₃ – стоимость строительства одного лесопогрузочного пункта.

Протяженность усов на лесосеке зависит от схемы прокладки уса S (рисунок 1), их числа М и числа лесопогрузочных пунктов на одном из них К.

Рисунок 1-Схема расположения усов на лесосеке

Максимальная ширина лесосеки, отводимый в рубку, как правило, не превышает 2000 м, поэтому число усов, входящих на лесосеку, можно принять не более четырех, а число лесопогрузочных пунктов на одном усу К может быть любым, но не более К_мах.

(6)

где Х_мах – максимальная длина (ширина) лесосеки, м.

В_min– минимальная длина делянки, примыкающей к одному лесопогрузочному пункту.

Можно принимать равной длине самого пункта, м.

Принимаю: М = 1, К = 1.

Протяженность усов и волоков определяется по формуле:

(7)

где К_З – коэффициент удлинения волоков, принимаю К_З = 1,1

Число лесопогрузочных площадок определяется

N = 2K · M; (8)

N = 2· 1· 1 = 2 шт.

Размеры делянки можно определить по формулам

(9)

(10)

,

Схема расположения волоков на делянке показано на рисунке 2

Рисунок 2-Схема разработки делянки.

Протяженность магистральных волоков:

(11)

Длину волоков на лесосеке определим по следующей зависимости:

L_в = · N · K₃ (12)

L_в = 1581,14· 2 · 1,1=3478,51м

В зависимости от схемы расположения волоков на делянке среднее расстояние трелевки определяется по формуле

L_ср = (K₁ ·B + K₂ ·A) ·K₃ (12)

где К₁, К₂ – коэффициенты, зависящие от схемы расположения волоков.

L_ср = (300+ 100)·1,1 = 440м.

С учетом L_ср сменная производительность трактора Р_см определяется по формуле

(13)

Согласно компьютерной распечатке выбираем наиболее оптимальный вариант. Расчеты приведены ниже.

Протяженность усов на лесосеке зависит от схемы прокладки уса S (рисунок 3), их числа М и числа лесопогрузочных пунктов на одном из них К.

Схема расположения усов на лесосеке - Рисунок 3

Принимаю: М = 2, К = 1.

Рассчитаем протяженность усов и волоков

Рассчитаем число лесопогрузочных площадок

N = 2· 1· 2 = 4 шт.

Рассчитаем размеры делянки

,

Схема расположения волоков на делянке показано на рисунке 4

Схема разработки делянки - Рисунок 4.

Протяженность магистральных волоков

Общая протяженность волоков на лесосеке определяется

L_В =375·4·1,1 = 1650 м

В зависимости от схемы расположения волоков на делянке среднее расстояние трелевки определяется по формуле

L_ср = (0,25·500+ 0,5·375)·1,1 = 343,75 м

С учетом L_ср сменная производительность трактора Р_см определяется по формуле

После этого необходимо рассчитать общую площадь лесопогрузочных пунк­тов на лесосеке.

Для определения общей площади лесопогрузочных пунктов на лесосе­ке S_ЛП рассчитаем площадь, занимаемую сортиментами S_С, и площадь, необ­ходимую для подъезда трелевочного трактора к штабелю S_TT.

Удельный объем лесоматериалов, складируемых на 1 м² площади, определим по следующей зависимости,м³/м²

V₁ = h·k,

где h - высота штабеля сортиментов, м;

\

k - коэффициент полнодревесности штабеля сортиментов (табл. 6).

V_1сосна = 2,5·0,65 = 1,625,

V_1ель = 2,5·0,68 = 1,7,

Площадь для складирования запаса лесоматериалов на лесосеке при временном отсутствии вывозки определим по формуле, м²

Длина штабеля сортиментов,м

_{где lc – длина сортиментов, м.}

Определим площадь, необходимую для подъезда трелёвочного трактора к штабелю, м²

S_TT = L_ш·b_TT ,

где b_TT – ширина колеи трелёвочного трактора, м.

b_TT = 3,7.

S_{TT сосна} = 2659,56.

S_{TT ель} = 2542,27.

Площадь лесопогрузочных пунктов на лесосеке определим по следующей зависимости, м²

S_ЛП = S_C + S_TT .

S_{ЛП сосна} = 4384,62 + 2659,56 = 7044,18

S_{ЛП ель} = 4191,175+ 2542,27 = 6733,44

S_{ЛП общ} =7044,18 + 6733,44 = 13777,6

Далее определим величину площади лесопогрузочных пунктов относительно площади лесосеки, %

Данное значение величины площади лесопогрузочных пунктов соответствует требованиям при организации лесосечных работ.

2 Построение математической модели задачи оптимизации конкретного процесса или объекта экспериментальным путем с использованием математических методов планирования эксперимента

Построение математической модели задачи оптимизации рассмотрим на конкретном процессе - определение держащей силы запашного якоря.

На лесосплаве наиболее широко применяются якоря классического типа (сплавные, однорогие, двурогие, якоря Матросова) с фиксированной или поворотной лапой.

На величину держащей силы якорей F основное влияние оказывают три параметра:

- длина веретена L;

- длина лапы или стойки h;

- угол атаки лапы ;

Рисунок 6-Схема запашного якоря обычного типа

При исследовании запашного якоря используем план полного трехфакторного эксперимента. Входными параметрами являются L; h; ; выходным – держащая сила F. Входные параметры задаются интервалами варьирования. Нижний уровень этих факторов обозначаем -1, верхний +1.

Для запашного якоря вводим обозначения; Х₁, Х₂, Х₃ – параметры якоря, соответствующие _, h, L,.

Все коэффициенты подсчитываем по результатам опытов. Расчетная матрица для определения коэффициентов приведена в таблице2.

Каждый опыт повторяется несколько раз и значения выходного параметра это средние арифметические значения держащей силы якоря в каждом опыте: F₁, F₂, F₃,…F₈.

Таблица 2- Расчетная матрица для определения коэффициентов.

N опыта	Факторы			Fi						Fср
	Х1	Х2	Х3		F1	F2	F3	F4	F5
1	-	-	-		180	200	220	200	200		200		800
2	+	-	-		220	210	210	230	220		218		280
3	-	+	-		260	280	260	250	270		264		520
4	+	+	-		220	230	230	230	230		228		80
5	-	-	+		160	180	160	180	170		170		400
6	+	-	+		180	190	180	190	180		184		120
7	-	+	+		230	220	210	210	220		218		280
8	+	+	+		240	210	230	240	230		230		600

Статистическую обработку результатов законченного эксперимента начинаем с оценке дисперсии воспроизводимости опытов, затем проверяем значимость коэффициентов уравнения регрессии и его адекватность.

2.1 Проверка воспроизводимости опытов.

При трехфакторном эксперименте выполняем восемь опытов. В свою очередь каждый опыт включает серию из n экспериментов.

Для каждого опыта по результатам серии экспериментов подсчитываем значение построчной дисперсии:

(14)

где F, F_j - держащая сила в каждом конкретном эксперименте серии и ее среднее арифметическое значение в серии.

Для 1-го опыта

(200-180) +(200-200) +(200-220) +(200-200) +(200-200) =800

Аналогично подсчитываем значение построчной дисперсии для оставшихся опытов.

После этого для всех опытов определяем сумму квадратов ошибок:

(15)

В результате дисперсия S², характеризующая ошибку эксперимента, определяем по формуле:

(16)

Для оценки воспроизводимости вычисляем экспериментальное значение числа Кохрена G_э и сравниваем с табличным G_т:

(17)

где – наибольшее значение построчной дисперсии.

G_т = 0,3919;

Так как условие выполняется, то можно принять гипотезу об однородности дисперсий опытов. Точность опыта достаточна.

2.2 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Математическая модель (уравнение регрессии) ,получаемая при реализации плана полного трехфакторного эксперимента ,имеет следующий вид:

y = b₀+b₁·x₁+b₂·x₂+b₃·x₃+b_1,2·x₁·x₂+b_1,3·x₁·x₃+b_2,3·x₂·x₃+b_1,2,3·x₁·x₂·x₃, (18)

где y - выходной фактор;

b₀, b₁, b₂, b₃ - коэффициенты при линейных членах;

x₁, x₂, x₃- входные факторы;

b_1,2, b_1,3, b_2,3- коэффициенты ,характеризующие взаимодействие 1-го порядка;

b_1,2,3- коэффициент ,характеризующий взаимодействие 3-го порядка.

В общем случае уравнение регрессии имеет восемь коэффициентов b_i. В каждом случае значимость этих коэффициентов разная. Оценка значимости позволяет выяснить незначимые коэффициенты регрессии, то есть те, которые в уравнении регрессии можно приравнять к нулю.

; b₂ = b₃ =

b_1,2 = b_1,3 = b_2,3 = b_1,2,3 =

Оценка значимости проводится с помощью t – критерия Стьюдента.

Для каждого коэффициента регрессии вычисляем отношение:

(19)

где -абсолютное значение исследуемого коэффициента регрессии.

S_b – среднеквадратичное отклонение.

(20)

Полученное значение t_расч сравниваем с табличным t_табл=2,0418.

Коэффициенты регрессии для которых выполняется условие t_расч t_табл, являются незначимыми и исключаются из уравнения регрессии.

Т.к t_расч1, t_расч2,3 являются незначимыми, то их исключаем из уравнения регрессии. Отсюда получается уравнение:

y = b₀ + b₂·x₂ + b₃·x₃ + b_1,2·x₁·x₂ + b_1,3·x₁·x₃ + b_1,2,3·x₁·x₂·x₃,

Проверка адекватности уравнения регрессии

Результаты этой проверки позволяют сделать вывод ,пригодно ли полученое уравнение регрессии для описания описания конструкции запашного якоря. Физический смысл метода адекватности заключается в проверке гипотизы об однородности дисперсии адекватности S и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента , S . Проверку на адекватность выполняют с помощью критерия Фишера :

F_ф= , (2.16)

где - значения держащей силы якоря в каждом из восьми опытов, замеренные и подсчитанные по уравнению регрессии.

Например для первого опыта ( см. таблицу)

= b₀ + b₂·x₂ + b₃·x₃ + b_1,2·x₁·x₂ + b_1,3·x₁·x₃ + b_1,2,3·x₁·x₂·x₃

= 214+ 21·x₂ – 13,5·x₃ - 7·x₁·x₂ + 5,5·x₁·x₃ + 6,5·x₁·x₂·x₃

= 198,5; = 214,5; = 267,5; = 229,5; = 173,5; =185,5;

= 216,5; = 226,5;

где L- число коэффициентов в уравнениях регрессии за вычетом незначимых;

S² –дисперсия, характеризующая ошибку эксперемента ;

Вычисленное число Фишера при доверительной вероятности 0,95 сравниваем с табличным ,так как расчетное значение не превосходит табличное

F_ф,расч.= 1,51 < 3,3 = F_ф,табл.,то уравнение регрессии адекватно описывает результаты эксперимента.

Вывод: Наибольшее влияние оказывает высота стойки. При увеличении угла атаки лапы и высоты стойки держащая сила якоря увеличивается.

Уравнение регрессии в натуральном масштабе:

;

;

;

; ; .

;

факторы уравнения заменяем: х₁ заменяем на α; х₂ на h; и х₃ на L.