VII. Стереометрия

1. Точка О – середина бокового ребра прямой призмы , в которой , АВ = ВС = 20, АС = 32. Найдите угол между прямыми и .

2. Ребро куба равно . Найдите расстояние между прямыми и .

3. Основание правильной призмы – треугольник , в котором АВ = 4, а точка Т – середина стороны АВ. Боковое ребро призмы равно . Найдите угол между прямой и плоскостью боковой грани .

4. Все боковые ребра пирамиды MABCD равны, основание – прямоугольник, диагональ которого равна 2, а угол между диагоналями равен 30⁰. Высота пирамиды равна 2,5. найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, параллельной прямой АМ и содержащей точки В и D.

5. Основание пирамиды MABCD – квадрат ABCD со стороной, равной 6. грани DMC и BMC перпендикулярны плоскости основания. Точка К делит ребро АМ в отношении 1 : 2, считая от вершины А. Найдите расстояние от точки К до плоскости DMC.

6. Высота правильной треугольной призмы равна 3, а сторона основания равна 8. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину А и середины ребер и .

7. Основанием прямой призмы служит ромб со стороной 2 и углом А, равным 60⁰. Плоскость наклонена к основанию под углом 60⁰. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

8. В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный прямоугольный треугольник АВС ( ). Все боковые ребра пирамиды равны. Грань SAC образует с плоскостью основания угол, равный 45⁰. Найдите объем пирамиды, если SA = .

9.Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит прямоугольная трапеция с основаниями, равными 2 и 4. Объем конуса равен . Найдите угол наклона боковых граней к плоскости основания.

10. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Поверхность вписанного в пирамиду шара делит высоту пирамиды пополам. Найдите боковое ребро пирамиды.

11. В цилиндр, высота которого равна а, вписан прямоугольник, у которого одна сторона равна а, а другая наклонена к плоскости основания цилиндра под углом 60⁰. Зная, что вершины прямоугольника находятся на окружностях оснований цилиндра, найдите площадь осевого сечения цилиндра.

12. Основание пирамиды – прямоугольник, стороны которого равны и , а все боковые ребра пирамиды равны друг другу. Секущая плоскость проходит через вершину пирамиды и середины двух смежных сторон основания. Косинус угла между плоскостями основания и сечения равен 0,6. Найдите объем треугольной пирамиды, отсекаемой от данной пирамиды плоскостью .

13. Угол наклона боковой грани к плоскости основания правильной четырехугольной пирамиды равен 60⁰, а боковое ребро равно . Найдите расстояние между центрами вписанного и описанного шаров.

14. Через вершину конуса и хорду основания проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45⁰. Радиус основания конуса равен 4, а высота – 3. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

15. В прямую призму вписан цилиндр, площадь полной поверхности которого равна . Основание призмы – ромб с углом 45⁰. Расстояние между осью цилиндра и диагональю боковой грани призмы равно . Найдите объем цилинда.