16

21.11.2020

1.Основные понятия временных рядов

Решение многих задач связано с обработкой обширных массивов числовых данных, представляемых одно- и многомерными временными рядами – последовательно расположенными в хронологическом порядке значениями того или иного показателя, которые в своих изменениях отражают ход развития изучаемого явления. Эти значения, в частности, могут служить для обоснования (или отрицания) различных моделей различных систем. Они служат также основой для разработки прикладных моделей особого вида, называемых трендовыми моделями.

Данные типа временных рядов распространены в самых различных областях человеческой деятельности. В экономике это ежедневные цены на акции, курсы валют, еженедельные и месячные объемы продаж, годовые объемы производства и т.п. В метеорологии типичными временными рядами являются ежедневная температура, месячные объемы осадков, в гидрологии – периодически измеряемые уровни воды в реках. В технике временные ряды возникают в результате отслеживания различных параметров технологических процессов.

Составными элементами рядов динамики являются цифровые значения показателя, называемые уровнями этих рядов, и моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни. Как правило, составляющие временной ряд числа нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому они относятся (например, у₁, у₂, у₃, и т.д.). Таким образом, порядок следования элементов временного ряда весьма существен.

Ряды динамики, как правило, представляют в виде таблицы или графически. При графическом изображении ряда динамики на оси абцисс строится шкала времени t, а на оси ординат - шкала уровней ряда у (арифметическая или иногда логарифмическая).

Временные ряды, образованные показателями, характеризующими явление на определенные моменты времени, называются моментнымщ пример такого ряда представлен в табл.1.

Таблица 1.Списочная численность рабочих предприятия

Дата	1/I	1/II	I/III	1/IV	30/IV
Списочная численность рабочих	4100	4400	4200	4600	4800

Если уровни временного ряда образуются путем агрегирования за определенный промежуток (интервал) времени, то такие ряды называются интервальными временными рядами; пример приведен в табл. 2.

Таблица 2. Фонд заработной платы рабочих предприятия

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель
Фонд заработной платы рабочих, тыс. руб.	37187,5	38270,0	39380,0	42535,0

Временные ряды могут быть образованы как из абсолютных значений показателей, так и из средних или относительных величин — это производные ряды, пример такого ряда дан в табл. 3.

Таблица 3. Среднемесячная заработная плата рабочих предприятия

Месяц	Январь	Февраль	Март	Апрель
Средняя заработная плата рабочих, руб.	8750	8900	8950	9050

Под длиной временного ряда понимают время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного; таким образом, длина всех приведенных выше временных рядов равна четырем месяцам. Часто длиной ряда называют количество уровней, входящих во временной ряд; длина ряда из табл. 1 равна пяти, а табл. 2 и табл. 3 — четырем.

Анализ временных рядов включает широкий спектр разведочных процедур и исследовательских методов, которые ставят следующие основные цели:

• краткое (сжатое) описание характерных особенностей ряда;

• подбор статистической модели, описывающей временной ряд;

• предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям (прогнозирование);

• управление процессом, порождающим временной ряд.

Эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и более или менее формально описана.

Как и большинство других видов анализа, анализ временных рядов предполагает, что данные содержат систематическую составляющую (обычно включающую несколько компонент) и случайный шум (ошибку), который затрудняет обнаружение регулярных компонент.

В зависимости от формы разложения временного ряда на систематическую d и случайную составляющие е различают аддитивную

( ) Формула 1

и мультипликативную

( ) Формула 2

модели временного ряда.

В свою очередь, в систематической компоненте временного ряда d обычно выделяют тренд (U_t), сезонную (S_t) и циклическую С_t компоненты. Таким образом, например, аддитивную модель временного ряда можно представить следующим образом:

= U_t + S_t + + С_t + е(t) Формула 3

где U_t - тренд, представляющий собой устойчивое изменение показателя в течение длительного времени, являющийся детерменированной компонентой, выражает аналитическую функцию, на которой формируются прогнозные оценки;

S_t - сезонная компонента описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т.п.). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов;

С_t – циклическая компонента описывает длительные периоды относительного подъема и спада; она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяженности; занимает как бы промежуточное положение между закономерной и случайной составляющими временного ряда; если тренд – это плавные изменения, проявляющиеся на больших временных промежутках, если сезонная компонента – это периодическая функция времени, ясно видимая, когда ее период много меньше общего времени наблюдений, то под циклической компонентой обычно подразумевают изменения временного ряда, достаточно плавные и заметные для того, чтобы не включать их в случайную составляющую, но такие, которые нельзя отнести ни к тренду, ник периодической компоненте.

е(t) - остаточная компонента, обязательная составная часть любого временного ряда, представляющая собой расхождение между фактическими и расчетными значениями.

Если систематические компоненты временного ряда определены правильно, что как раз и составляет одну из главных целей при разработке трендовых моделей, то остающаяся после выделения из временного ряда этих компонент так называемая остаточная последовательность (ряд остатков) будет случайной компонентой ряда, т.е. будет обладать следующими свойствами:

• случайностью колебаний уровней остаточной последовательности;

• соответствием распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

• равенством математического ожидания случайной компоненты нулю;

• независимостью значений уровней случайной последовательности, т.е. отсутствием существенной автокорреляции.

Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:

• графическое представление и описание поведения временного ряда;

• предварительный анализ временного ряда;

• выделение и удаление закономерных составляющих временного ряда, зависящих от времени: тренд, сезонных и циклических составляющих;

• выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация);

• исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих;

• построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;

• прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;

• исследование взаимодействий между различными временными рядами.

Для решения указанных выше, а также многих других задач используются следующие методы анализа временных рядов:

• корреляционный анализ позволяет выявить существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) внутри одного процесса (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция);

• спектральный анализ позволяет находить периодические составляющие временного ряда;

• сглаживание и фильтрация предназначены для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний;

• модели авторегрессии и скользящего среднего оказываются особенно полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения;

• прогнозирование позволяет на основе подобранной модели поведения временного ряда предсказывать его значения в будущем.