- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры.
- •Матрицы, определители.
- •Матрицы
- •Операции над матрицами
- •Определители
- •1.1.4.Свойства определителей
- •Миноры и алгебраические дополнения
- •Обратная матрица
- •Элементарные преобразования над матрицей. Нахождение обратной матрицы
- •Ранг матрицы
- •1.2. Решение систем линейных уравнений.(слу)
- •1.2.1. Системы линейных уравнений
- •1.2.2. Матричная форма записи системы
- •1.2.3. Решение системы с помощью формул Крамера
- •1.2.4. Решение слу методом Гаусса.
- •Раздел 2. Элементы аналитической геометрии.
- •2.1. Векторы;
- •2.1.1. Линейное векторное пространство.
- •2.1.2. Скалярное произведение.
- •2.2. Уравнение прямой.
- •2.2.1. Декартова прямоугольная система координат
- •2.2.2. Расстояние между двумя точками на плоскости
- •2.2.3. Общее уравнение прямой
- •2.2.4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •2.2.5. Уравнение прямой, проходящей
- •2.2.6. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
- •2.2.7. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности прямых
- •Раздел 2 включает элементы аналитической геометрии, необходимых для решения неравенств с двумя переменными.
1.2. Решение систем линейных уравнений.(слу)
Вопросы:
1.2.1.Определение СЛУ;
1.2.2.Матричная форма записи системы;
1.2.3. Решение СЛУ с помощью формул Крамера;
1.2.4.Решение СЛУ методом Гаусса;
1.2.1. Системы линейных уравнений
Определение 1. Система вида
называется системой m линейных уравнений с n неизвестными, где x1, x2, …, xn - неизвестные, aij, i= , j= - коэффициенты при неизвестных, b1, b2, …, bm - свободные члены.
Определение 2. Если все свободные члены равны нулю, то система называется однородной, и неоднородной - в противном случае.
Определение 3. Решением системы называется совокупность из n чисел с1, с2, …, сn, при подстановке которой в систему вместо неизвестных будет получено m числовых тождеств.
Определение 4. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.
Определение 5. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной - в противном случае.
При изучении систем исследуют три вопроса:
совместна система или нет;
если система совместна, то является ли она определенной или неопределенной;
нахождение единственного решения в случае определенной системы и всех решений в случае неопределенной.
1.2.2. Матричная форма записи системы
Пусть дана система
Рассмотрим матрицы
, , .
С помощью этих матриц систему можно записать в виде .
,
.
1.2.3. Решение системы с помощью формул Крамера
Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:
Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
, где - главный определитель, - j-й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j-го столбца столбцом свободных членов.
Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.
Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.
1.2.4. Решение слу методом Гаусса.
Определение 1. Элементарными преобразованиями системы называются:
умножение уравнения на число, отличное от нуля;
прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
перестановка двух уравнений;
отбрасывание уравнения 0=0.
Если получено уравнение 0=k, то система несовместна.
Метод Гаусса состоит в приведении системы к диагональному виду путем последовательного исключения неизвестных. Количество исключенных неизвестных равно числу линейно независимых уравнений. Переменная считается исключенной, если она содержится только в одном уравнении с коэффициентом 1.
Пример.
.
Метод Гаусса удобно применять к расширенной матрице системы, левую часть которой с помощью элементарных преобразований матрицы нужно привести к единичной матрице. Составим расширенную матрицу:
Получено решение системы х (3;2;1).
Вопросы для самопроверки.
1.Что представляет собой система линейных уравнений с п неизвестными?
2. Перечислите способы решения СЛУ.
3. Какие прикладные задачи можно решать матричным способом?
4. Назовите формулы Крамера.
Перечислите этапы метода Гаусса.
Резюме к разделу 1.
Изучение раздела 1 формирует у обучающихся умения по работе с матрицами и определителями, используемые для решения систем линейных уравнений. Основной целью изучения дисциплины является приобретение студентами теоретических знаний и прак
Перечень терминов, определений.
Матрицы, операции над ними. Определите матриц, их вычисления. Обратная матрица. Определители матриц, их свойства. Алгебраическое дополнение. Минор матрицы. Ранг матрицы. Обратная матрица, способы ее нахождения. Системы п-линейных уравнений с п переменными. Матричный метод решения СЛУ, с помощью формул Крамера, методом Гаусса.