Тырсин А.Н. - Системный анализ. Модели и методы (без обложки)

С помощью критерия азартного игрока определяется стратегия, максимизирующая максимальные выигрыши для каждого состояния. Это критерий крайнего оптимизма.

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия в экономике, в общем, нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».

6.6.5. Применение классических критериев

Из требований, предъявляемых рассмотренными критериями к анализируемой ситуации, становится ясно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеализированных практических решений. В случаях, когда требуется слишком сильная идеализация, можно одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится все-таки волевым образом выделять некоторое окончательное решение. Такой подход позволяет, вопервых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Пример 6.14. При работе ЭВМ необходимо периодически приостанавливать обработку информации и проверять ЭВМ на наличие в ней вирусов. Приостановка в обработке информации приводит к экономическим издержкам. В случае же если вирус вовремя обнаружен не будет, возможна потеря и некоторой части информации, что приведёт к ещё большим убыткам.

Варианты решения таковы: Е1 – полная проверка; Е2 – минимальная проверка; Е3 – отказ от проверки. ЭВМ может находиться в следующих состояниях: F1 – вирус отсутствует; F2 – вирус есть, но он не успел повредить информацию; F3 – есть файлы, нуждающиеся в восстановлении.

Результаты расчета (в усл. ед.) по четырем классическим критериям приведены в табл. 6.9, 6.10 [47].

Согласно ММ-критерию следует проводить полную проверку (E0 = E1). Критерий азартного игрока и критерий Байеса–Лапласа (в предположении, что все состояния машины равновероятны) рекомендуют отказаться от проверки (E0 = E3). По критерию Сэвиджа в качестве оптимальной рекомендуется минимальная проверка (E0 = E2). В рассмотренном примере критерии предлагают разные решения. Это делает неясным, какому критерию следовать.

121

Таблица 6.9. Расчет по критериям Вальда, Байеса–Лапласа и азартного игрока

						ММ-критерий				Критерий BL						Критерий
																азартного игрока
	F1	F2	F3
				e	ir	min e	ij	max e		eir	1		j eij	max e		eir max eij	max e
						j		i	ir		3			i	ir	j	i	ir
E1	-20	-22	-25			-25		-25		-22,33						-20
E2	-14	-23	-31			-31				-22,67						-14
E3	0	-24	-40			-40				-21,33				-21,33		0		0

Таблица 6.10. Расчет по критерию Сэвиджа

				Критерий Сэвиджа
	F1	F2	F3	eir max aij	min eir
				j	i
E1	+20	0	0	+20
E2	+14	+1	+6	+14	+14
E3	0	+2	+15	+15

Поскольку различные критерии связаны с различными же аспектами ситуации, в которой принимается решение, лучше всего для сравнительной оценки рекомендаций тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. Если принимаемое решение относится к сотням объектов с одинаковыми параметрами, то целесообразно придерживаться критерия Байеса–Лапласа. Если же число реализации невелико, то больший вес приобретают более осторожные рекомендации критериев Вальда и Сэвиджа.

6.7. Производные критерии принятия решений в условиях неопределенности

6.7.1. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

С целью занять более уравновешенную позицию был предложен критерий Гурвица, оценочная функция которого находится где-то между предельным оптимизмом (6.11) и крайним пессимизмом (6.13):

ZHW	max eir ,
	i

eir	c min eij (1 c) max eij .								(6.19)
	j		j
Тогда
E0		: Ei0 E ei0							,
	Ei0		max c min eij (1			c) max eij , 0		c 1
			i		j	j

где с – весовой множитель.

122

Правило выбора согласно критерию Гурвица формулируется следующим образом:

Матрица решений {eij} дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные значения наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки (6.19). Выбираются те варианты Ei0, в строках которых стоят наибольшие элементы eir этого столбца.

При с = 1 критерий Гурвица превращается в ММ-критерий. При с = 0 он превращается в критерий азартного игрока. Отсюда ясен смысл весового множителя с. В приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель с = 0,5 принимается в качестве некоторой «средней» точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

-о вероятностях появления состояний Fj ничего не известно;

-с появлением состояний Fj необходимо считаться;

-реализуется лишь малое количество решений;

-допускается некоторый риск.

6.7.2. Критерий Ходжа–Лемана

Критерий Ходжа–Лемана (HL) опирается одновременно на ММкритерий (6.15) и BL-критерий (6.16). С помощью параметра v выражается степень доверия к используемому распределению вероятностей. Если это доверие велико, то акцентируется BL-критерий, в противном случае предпочтение отдается ММ-критерию.

Оценочная функция определяется равенством

Z HL max eir ,
i
n
eir v eij q j (1	v) min eij , 0	1,	(6.20)
j 1	j

а множество HL-оптимальных решений записывается в виде

				n
E0	Ei0	: Ei0 E ei0	max v eij q j
			i	j 1

(1 v) min eij , 0

j

v 1 .

Правило выбора, соответствующее HL-критерию, формулируется так.

Матрица решений {eij} дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки (6.20). Отбираются те варианты решений Ei0, в строках которых стоит наибольшее значение этого столбца.

Для v = l HL-критерий переходит в BL-критерий, а для v = 0 превращается в ММ-критерий.

123

Степень уверенности в какой-либо функции распределения практически не поддается оценке. Сам критерий тоже не дает для этого точки опоры. Таким образом, выбор параметра подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому HL-критерий применяется при принятии решений крайне редко.

Требования HL-критерия к ситуации, в которой принимается решение, следующие:

-вероятности появления состояний Fj неизвестны, но некоторые предположения о распределениях вероятностей возможны;

-принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций;

-при малых количествах реализаций допускается некоторый риск.

6.7.3. Критерий Гермейера

Опираясь на подход к отысканию эффективных и пригодных к компромиссу решений, которые не считаются заведомо худшими, чем другие, можно предложить критерий Гермейера (G), обладающий определенной эластичностью. Он с самого начала ориентирован на величины потерь, то есть на отрицательные значения всех еij.

В качестве оценочной функции выступает

ZG max eir , eir min eij q j .
i	j

Множество оптимальных по данному критерию решений записывается как

E0		: Ei0 E ei0
	Ei0		max min eij q j eij 0 .
			i j

Поскольку в хозяйственных задачах преимущественно имеют дело с ценами и затратами, условие eij < 0 обычно выполняется. В случае же, когда среди величин еij встречаются и положительные значения, можно перейти к строго отрицательным значениям с помощью преобразования (еij – а) при подходящим образом подобранном а > 0. Следует, однако, иметь в виду, что оптимальный вариант решения зависит от а.

Правило выбора согласно G-критерию формулируется так.

Матрица решений {eij} дополняется еще одним столбцом, содержащем в каждой строке наименьшее произведение имеющегося в ней результата на вероятность соответствующего состояния Fj. Выбираются те варианты Ei0, в строках которых находится наибольшее значение eir этого столбца.

В известном отношении G-критерий обобщает ММ-критерий. В случае равномерного распределения qj = 1/n, j = 1, , n, они становятся идентичными.

Условия применимости G-критерия таковы: - вероятности появления состояний Fj известны;

124

-с появлением тех или иных состояний, отдельно или в комплексе, необходимо считаться;

-допускается некоторый риск;

-решение может реализоваться один или много раз.

Если функция распределения известна не очень надежно, а числа реализаций малы, то, следуя G-критерию, получают неоправданно большой риск. Таким образом, здесь остается некоторая свобода для субъективных действий.

6.7.4. BL(MM)-критерий

Стремление получить критерии, которые бы лучше приспосабливались к имеющейся ситуации, чем все, до сих пор рассмотренные, привело к построению так называемых составных критериев. Одним из них является BL(MM)-критерий, полученный путем объединения критериев Байеса Лапласа и максиминного.

Правило выбора для этого критерия следующее.

Матрица решений {eij} дополняется еще тремя столбцами. В первом из них записываются математические ожидания каждой из строк, во

втором – разность между опорным значением	ei	j max min eij и
	0	0	i	j
наименьшим значением min eij соответствующей	строки. В			третьем
j

столбце помещаются разности между наибольшим значением каждой

строки max eij и наибольшим значением max ei0 j той строки, в которой
j		j
находится значение ei j		. Выбираются те варианты Ei	0	, строки которых
0	0

(при соблюдении приводимых ниже соотношений между элементами второго и третьего столбцов) дают наибольшее математическое ожидание. А именно, соответствующее значение оценок риска i

i ei0 j0 minj eij

из второго столбца должно быть не больше некоторого заранее заданного уровня риска доп. Значение же из третьего столбца должно быть больше значения из второго столбца.

Применение этого критерия обусловлено следующими признаками ситуации, в которой принимается решение:

-вероятности появления состояний Fj неизвестны, однако имеется некоторая априорная информация в пользу какого-либо определенного распределения;

-необходимо считаться с появлением различных состояний, как по отдельности, так и в комплексе;

-допускается ограниченный риск;

-принятое решение реализуется один раз или многократно.

125

BL(MM)-критерий хорошо приспособлен для построения практических решений прежде всего в области техники и может считаться достаточно надежным. Однако заданные границы риска доп и, соответственно, оценок риска i не учитывает ни число применения решения, ни иную подобную информацию. Влияние субъективного фактора хотя и ослаблено, но не исключено полностью.

Условие max eij max ei			j i существенно в тех случаях, когда
j	j	0

решение реализуется только один или малое число раз. В этих условиях недостаточно ориентироваться на риск, связанный только с невыгодными внешними состояниями и средними значениями. Из-за этого можно понести некоторые потери в удачных внешних состояниях. При большом числе реализаций данное условие перестает быть таким уж важным и допускает разумные альтернативы.

6.7.5. Критерий произведений

Критерий произведений с самого начала ориентирован на величины выигрышей, то есть на положительные значения eij.

Оценочная функция: Z P max eir , eir eij .
				i	j
Тогда
E0	Ei0	: Ei0 E & ei0	max eij eij 0 .
			i	j

Правило выбора в этом случае формулируется так.

Матрица решений {eij} дополняется новым столбцом, содержащим произведения всех результатов каждой строки. Выбираются те варианты Ei0, в строках которых находятся наибольшие значения этого столбца.

Критерий произведений используют, когда:

-вероятности появления состояний Fj неизвестны;

-с появлением каждого из состояний Fj по отдельности необходимо считаться;

-критерий применим и при малом числе реализации решения;

-некоторый риск допускается.

Как уже упоминалось, критерий произведений приспособлен в первую очередь для случаев, когда все еij положительны. Если указанное условие нарушается, а критерий приходится применять и в этом случае, то следует

выполнить некоторый сдвиг (еij + а) с некоторой константой a min eij .

i, j

Результат применения критерия существенно зависит от этого значения а.

126

На практике в качестве значения а часто используют величину min eij 1.

i, j

Если же никакая константа не может быть признана имеющей смысл, то к таким проблемам критерий произведений не применим.

Выбор оптимального решения по этому критерию оказывается значительно менее пессимистическим, чем выбор в соответствии с ММкритерием. В результате применения критерия произведений происходит некоторое выравнивание между большими и малыми значениями eij, и, устанавливая оптимальный вариант решения с помощью этого критерия, можно при фиксированных состояниях Fj получить большую выгоду, чем при использовании ММ-критерия, но при этом должна учитываться возможность появления и худших результатов. Следует отметить, что при использовании этого критерия ни число реализаций, ни информация о распределении вероятностей не принимаются во внимание.

Если оптимальный результат, полученный согласно критерию произведений, определяется преимущественно малыми значениями результатов, это указывает на довольно-таки пессимистический подход, аналогичный ММ-критерию. При возрастании полезного эффекта пессимистический акцент снижается, и по существу происходит все большее сближение данного критерия с нейтральным.

6.7.6. Применение производных критериев

Найдем оптимальные вариантов решения согласно производным критериям на примере матрицы решений о проведении проверок ЭВМ из примера 6.14 (четыре левых столбца в табл. 6.9).

Построение оптимального решения для матрицы решений о проверках по критерию Гурвица имеет вид (при c = 0,5, данные приведены в усл. ед.). В этом примере у решения имеется поворотная точка относительно весового множителя c: до 0,57 в качестве оптимального выбирается Е3, а при больших значениях – выбирается Е1.

Таблица 6.11. Расчет по критерию Гурвица

		eij			c min e		(1 c) max eij	eir	max e
					j	ij	j		i	ir
-20		-22		-25	-12,5		-10,0	-22,5
-14		-23		-31	-15,5		-7,0	-22,5
0		-24		-40	-20,0		0,0	-20,0	-20,0

Рассмотрим применение критерия Ходжа–Лемана (qj = 1/3, v = 0,5). Критерий Ходжа–Лемана (табл. 6.12) рекомендует вариант Е1 (полная

проверка) – так же как и ММ-критерий. Смена рекомендуемого варианта происходит только при v > 0,94. Поэтому равномерное распределение состояний рассматриваемой машины должно распознаваться с очень

127

высокой вероятностью, чтобы его можно было выбрать по большему математическому ожиданию. При этом число реализаций решения всегда остаётся произвольным.

Таблица 6.12. Расчет по критерию Ходжа–Лемана

eij q j	min e		v eij q j	(1 v) min e	ij	eir	max e
j	j	ij	j	j			i	ir
-22,33	-25,0		-11,17	-12,5		-23,67	-23,67
-22,67	-31,0		-11,34	-15,5		-26,84
-21,33	-40,0		-10,67	-20,0		-30,76

Критерий Гермейера при qj = 1/3 дает следующий результат (табл. 6.13). В качестве оптимального выбирается вариант Е1. Сравнение вариантов с помощью величин eir показывает, что способ действия критерия Гермейера является даже более гибким, чем у ММ-критерия.

Таблица 6.13. Расчет по критерию Гермейера

		e	ij					e q	j			eir min eij q j	max eir
								ij				j	i
-20		-22			-25	-6,67		-7,33			-8,33	-8,33	-8,33
-14		-23			-31	-4,67		-7,67			-10,33	-10,33
0		-24			-40	0,0		-8,0			-13,33	-13,33

В табл. 6.14 решение выбирается в соответствии с BL(MM)-критерием при q1 = q2 = q3 = 1/3. Вариант Е3 (отказ от проверки) принимается этим критерием только тогда, когда риск приближается к возм = 15 103. В противном случае оптимальным оказывается Е1. Во многих технических и хозяйственных задачах допустимый риск бывает намного ниже, составляя обычно только незначительный процент от общих затрат. В подобных случаях бывает особенно ценно, если неточное значение распределения вероятностей сказывается не очень сильно. Если при этом оказывается невозможным установить допустимый риск доп заранее, независимо от принимаемого решения, то помочь может вычисление ожидаемого рискавозм. Тогда становится возможным подумать, оправдан ли подобный риск. Такое исследование обычно дается легче.

Таблица 6.14. Расчет по BL(MM)-критерию

		e			eij q j	ei0 j0 min eij	max eij	max eij max ei j
										0
		ij			j	j	j	j	j
-20	-22			-25	-22,33	0,0	-20,0		0,0
-14	-23			-31	-22,67	+6,0	-14,0		+6,0
0	-24			-40	-21,33	+15,0	0,0		+20,0

128

Результаты применения				критерия		произведения при а = 41 103 и
а = 200 103 приведены в табл. 6.15.
	Таблица 6.15 Расчет по критерию произведения
	a			eij a			eir = eij	max eir
							j	i
		+21		+19	+16		6384	6384
	a = 41	+27		+18	+10		4860
		+41		+17	+1		697
		+180		+178	+175		5607
	a = 200	+186		+177	+169		5563
		+200		+176	+160		5632	5632

Условие eij 0 для данной матрицы невыполнимо. Поэтому к элементам матрицы добавляются (произвольно заданные) сначала а = 41 103, а затем а = 200 103. Для а = 41 103 оптимальным оказывается вариант Е1, а для а = 200 103 – вариант Е3, так что зависимость оптимального варианта от а очевидна.

129

Глава 7. Информационные аспекты изучения систем

Всамом общем виде информация – это сведения о чем-либо. В настоящее время не существует единого определения информации как научного термина, причём академик Н.Н. Моисеев даже полагал, что в силу широты этого понятия нет и не может быть строгого и достаточно универсального определения информации [45]. С точки зрения различных областей знания данное понятие описывается своим специфическим набором признаков. Современное понимание того, что такое информация,

икакую роль она играет в искусственных и естественных системах, сложилось не сразу; оно представляет собой совокупность знаний, полученных разными науками: физикой, биологией, философией, теорией связи и т.д. Если состояния одного объекта находятся в соответствии с состояниями другого объекта, мы говорим, что один объект отражает другой, содержит информацию о другом.

Внастоящее время информация рассматривается как

фундаментальное свойство материи. Особенностью информации является то, что ее можно исследовать количественно. Эти вопросы рассматриваются в теории информации – разделе прикладной математики, радиотехники и информатики, относящейся к измерению количества информации, ее свойств и устанавливающий предельные соотношения для систем передачи данных. Появление теории информации связано с опубликованием К. Шенноном (Claude Elwood Shannon) в 1948 году работы «Математическая теория связи» [97].

Как и любая математическая теория, теория информации оперирует математическими моделями, а не реальными физическими объектами (источниками и каналами связи).

7.1. Сигналы в системах

Для того чтобы два объекта содержали информацию друг о друге, необходимо, чтобы между их состояниями существовало соответствие: только при этом условии по состоянию одного объекта можно судить о состоянии другого. Такое соответствие может установиться как в результате физического взаимодействия между этими объектами, так и с помощью взаимодействия с промежуточными объектами (или их совокупностью).

Сигнал есть материальный носитель информации, средство перенесения информации в пространстве и времени.

Следует уточнить, что один и тот же объект может выступать в качестве разных сигналов: колебания воздуха могут нести звуки музыки,

130